Математика - це просто! 9 - 11 класи
Якщо скласти ці два рядки, то, з одного боку, ми будемо мати удовенную початкову суму, тобто 2 (1 + 2 + 3 +. + N). З іншого боку, зауважимо, що кожна пара чисел, що стоять одне над іншим, дають в сумі n + 1 (для наочності пари чисел виділені однаковим кольором). Перша (синя) дає n + 1, а кожної наступної верхнє число збільшується на 1, а нижня на 1 зменшується. Таким чином суми в наступних парах будуть дорівнювати n + 1. Всього таких пар n (за кількістю чисел в сумі), а тому ми маємо рівність: 2 (1 + 2 + 3 +. + N) = n (n + 1), звідки і отримуємо шукану формулу.
1 2 + 2 + 2 + 3 2. + N 2
Перевіримо, чи виконується рівність при n = 1.
Нехай для деякого k ∈ N виконується рівність
1 2 + 2 + 2 + 3 2. + K 2
Доведемо, що воно виконується і для k + 1, тобто що
1 2 + 2 + 2 + 3 2. + K 2 + (k + 1) 2
Користуємося переходом, отримуємо
Множимо обидві частини на 6, скорочуємо на k + 1:
Досягається рівність, а, значить, (*) - вірно. Перехід, а тому і рівність доведено.
1 3 + 2 3 + 3 3 +. + N 3
Перевіримо, чи виконується рівність при n = 1.
1 3 = 1 2 × 2 + 2/4 = 1.
Нехай для деякого k ∈ N виконується рівність
3) 1. 3 +2 3 + 3 3 +. + K 3
Доведемо, що воно виконується і для k + 1, тобто що
3) 1. 3 +2 3 + 3 3 +. + (K + k + 1) 3
Користуємося переходом, отримуємо
Множимо обидві частини на 4, скорочуємо на (k + 1) 2:
Досягається рівність, а, значить, (**) - вірно. Перехід, а тому і рівність доведено.
Переклад на інші мови
Знаки множення у вигляді точки і ділення у вигляді двокрапки вперше використав Готфрід Лейбніц в 1684 і 1698 рр. У 1675 р він же винайшов знаки інтеграла і диференціала.
На даний момент в базі присутня інформація про 1 847 великих математиків.
Для ознайомлення доступні 48 книг.
Якщо ви хочете надати допомогу проекту - прочитайте, будь ласка, це.
Доданий матеріал "Показові рівняння і нерівності", в якому заповнені розділи "Теорія" і "Методи рішень". Найближчим часом чекайте завдання з цього матеріалу.