Математичне сподівання дискретної випадкової величини
Імовірнісний сенс цієї числової характеристики такий: математичне сподівання випадкової величини приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.
Нехай вироблено n випробувань, в яких випадкова величина прийняла раз значення. раз значення. ..., раз значення. причому + + ... + = n. Тоді середнє арифметичне всіх значень, прийнятих випадковою величиною Х, обчислюється за формулою: =.
Або =. Зауважимо, що - відносна частота значення. - відносна частота значення. ..., - відносна частота значення. Якщо число випробувань n досить велике, то відносна частота приблизно дорівнює ймовірності появи події: ». ». ..., ». Тоді »× + × + ... + ×. значить,
Математичне сподівання приблизно дорівнює середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини. Рівність буде тим точніше, чим більше число випробувань.
Математичне сподівання більше найменшого і менше найбільшого можливих значень. Тому можна сказати, що математичне очікування характеризує стан випадкової величини на числовій осі, тобто вказує деякий середнє значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини. Таке середнє значення є «представником» випадкової величини і може заміщати її при грубих оціночних розрахунках.
Властивості математичного очікування випадкової величини:
1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій величині:
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
3. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин:
4. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:
(Дві випадкові величини називаються незалежними. Якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення приймає інша величина.)
Приклад 6.7. Обчислимо математичне сподівання для випадкової величини з прикладу 6.1. Підставляючи можливі значення 0 і 1 і відповідні їм ймовірності в формулу (6.3), отримуємо:
Взагалі кажучи, якщо ми розглянемо випадкову величину Х - число появ події А в одному випробуванні, при ймовірності цієї події, яка дорівнює p. то математичне сподівання Х одно: M [X] = 0 × (1-p) + 1 × p = p.
Отже, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.
Приклад 6.8. Знайдемо математичне сподівання для випадкової величини з прикладу 6.4, що задається низкою розподілу: