Дискретні випадкові величини
Тема "Дискретні випадкові величини"
Випадкової називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Дискретної називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями.
Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх можливостями.
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблично, у вигляді формули (аналітично) і графічно.
Числові характеристики дискретних випадкових величин
Числа, які описують випадкову величину сумарно, називають числовими характеристиками випадкової величини.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності:
,
де - можливі значення випадкової величини, а - відповідні ймовірності.
Зауваження. Вищенаведена формула справедлива для дискретної випадкової величини, число можливих значень якої звичайно. Якщо ж випадкова величина має рахункове число можливих значень, то для знаходження математичного очікування використовують формулу:
,
причому це математичне очікування існує при виконанні відповідного умови збіжності числового ряду в правій частині рівності.
Імовірнісний сенс математичного очікування: математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.
Властивості математичного очікування
1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної:
.
2. Постійний множник можна винести за знак математичного очікування:
.
3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:
.
Слідство. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.
4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків:
.
Слідство. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків.
Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події постійна і дорівнює. Тоді справедлива наступна теорема.
Теорема. Математичне сподівання числа появ події в незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні:
.
Різниця між випадковою величиною і її математичним очікуванням називається відхиленням.
Теорема. Математичне сподівання відхилення дорівнює нулю:
.
Дисперсією дискретної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величиною від її математичного очікування:
.
Дисперсія має розмірність, рівну квадрату розмірності випадкової величини.
Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини і квадратом її математичного очікування:
.
1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:
.
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих випадкових величин:
.
Слідство. Дисперсія суми декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин.
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих випадкових величин:
.
Теорема. Дисперсія числа появ події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи і ймовірність непоявленія цієї події в одному випробуванні:
.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь з дисперсії:
.
Розмірність середнього квадратичного відхилення збігається з розмірністю самої випадкової величини.