Як розрахувати математичне сподівання - розрахунок математичного очікування - математика
Математичне сподівання випадкової величини - одна з найважливіших її характеристик в теорії ймовірності. Це поняття пов'язане з розподілом ймовірностей величини і є її середнім очікуваним значенням, який обчислюється за формулою: M = ∫xdF (x), де F (x) - функція розподілу випадкової величини, тобто функція, значення якої в точці х є її ймовірністю; х належить множині X значень випадкової величини.
Наведена формула носить назву інтеграла Лебега-Стілтьєса і грунтується на методі розбиття області значень інтегрованої функції на інтервали. Потім підраховується інтегральна сума.
Математичне сподівання дискретної величини прямо випливає з інтеграла Лебега-Стільтьеса: М = Σx_i * p_i на інтервалі i від 1 до ∞, де x_i - значення дискретної величини, p_i - елементи безлічі її ймовірностей в цих точках. При цьому Σp_i = 1 при I від 1 до ∞.
Математичне сподівання целочисленной величини може бути виведено через виробляє функцію послідовності. Очевидно, що целочисленная величина є окремим випадком дискретною і має наступний розподіл ймовірностей: Σp_i = 1 при I від 0 до ∞ де p_i = P (x_i) - розподіл ймовірностей.
Для того, щоб розрахувати математичне сподівання. необхідно продифференцировать P при значенні х, що дорівнює 1: P '(1) = Σk * p_k для k від 1 до ∞.
Виробляє функція - це статечної ряд, збіжність якого визначає математичне сподівання. При розбіжності цього ряду математичне сподівання дорівнює нескінченності ∞.
Для спрощення розрахунку математичного очікування прийняті деякі його найпростіші властивості: - математичне очікування числа є саме це число (константа); - лінійність: M (a * x + b * y) = a * M (x) + b * M (y) ; - якщо x ≤ y і M (y) - кінцева величина, то математичне сподівання х також буде кінцевою величиною, причому M (x) ≤ M (y); - для x = y M (x) = M (y); - математичне сподівання добутку двох величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: M (x * y) = M (x) * M (y).