Лінії першого порядку 1
Загальне рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих
В декартових координатах кожна пряма визначається рівнянням першого ступеня і, назад, кожне рівняння першого ступеня визначає пряму.
називається загальним рівнянням прямої.
Кут альфа, який визначається, як показано на рис. називається кутом нахилу прямої до осі Ох. Тангенс кута нахилу прямої до осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої; його зазвичай позначають буквою k:
Рівняння y = kx + b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом; k - кутовий коефіцієнт, b - величина відрізка, який відсікає пряма на осі Оу, рахуючи від початку координат.
Якщо пряма задана загальним рівнянням
то її кутовий коефіцієнт визначається по формулі
Рівняння y-y0 = k (x-x0) є рівнянням прямої, яка проходить через точку M0 (x0, y0) і має кутовий коефіцієнт k.
Якщо пряма проходить через точки M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), то її кутовий коефіцієнт визначається по формулі
є рівнянням прямої, що проходить через дві точки M1 (x1, y1), M2 (x2, y2)
Якщо відомі кутові коефіцієнти k1 і k2 двох прямих, то один з кутів φ між цими прямими визначається за формулою
Ознакою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів:
Ознакою перпендикулярності двох прямих є співвідношення
k1k2 = -1, або k2 = -1 / k1
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку С (-5; 4), знаючи, що довжина її відрізка, укладеного між прямими x + 2y + 1 = 0, x + 2y-1 = 0, дорівнює 5. Дивитися рішення.
Неповні рівняння прямої. Спільне дослідження рівняння двох і трьох прямих. Рівняння прямої у відрізках
Якщо в загальному рівнянні прямої
один або два з трьох коефіцієнтів (вважаючи і вільний член) звертаються в нуль, то рівняння називається неповним. Можливі такі випадки:
1). С = 0; рівняння має вигляд Ax + By = 0 і визначає пряму, що проходить через початок координат.
2). В = 0 (А ≠ 0); рівняння має вигляд Ax + C = 0 і визначає пряму, перпендикулярну до осі Ох. Це рівняння може бути записано у вигляді х = а, де a = -C / A є величиною відрізка, який відсікає пряма на осі Ох, рахуючи від початку координат.
3). В = 0, С = 0 (А ≠ 0); рівняння може бути записано у вигляді х = 0 і визначає вісь ординат.
4). А = 0 (В ≠ 0); рівняння має вигляд By + C = 0 і визначає пряму, перпендикулярну до осі Оу. Це рівняння може бути записано у вигляді y = b, де b = -C / B є величиною відрізка, який відсікає пряма на осі Оу, рахуючи від початку координат.
5). А = 0, С = 0 (В ≠ 0); рівняння може бути записано у вигляді у = 0 і визначає вісь абсцис.
Якщо жоден з коефіцієнтів рівняння (1) не дорівнює нулю, то його можна перетворити до вигляду
де a = -C / A, b = -C / B суть величини відрізків, які відсікає пряма на координатних осях.
Рівняння (2) називається рівнянням прямої «в відрізках».
Якщо дві прямі дані рівняннями
A1x + B1y + C1 = 0 і A2x + B2y + C2 = 0,
то можуть представитися три випадки:
а). A1 / A2 ≠ B1 / B2 - прямі мають одну спільну точку;
б). A1 / A2 = B1 / B2 ≠ C1 / C2 - прямі паралельні;
в). A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 - прямі зливаються, тобто обидва рівняння визначають одну і ту ж пряму.
Визначити, при якому значенні a пряма:
1) паралельно осі абсцис;
2) паралельно осі ординат;
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку С (1; 1) і відсікає від координатного кута трикутник з площею, так само 2. Дивитися рішення.
Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої
Нехай на площині хОу дана пряма. Проведемо через початок координат перпендикуляр до цієї прямий і назвемо його нормаллю. Позначимо через Р точку перетину нормалі з даною прямою і встановимо позитивний напрямок нормалі від точки Про до точки Р.
Якщо альфа - полярний кут нормалі, р - довжина відрізка OP (рис.), То рівняння даної прямої може бути записано у вигляді
xcosa + ysina - p = 0
рівняння цього виду називається нормальним.
Нехай дана якась пряма і довільна точка M *; позначимо через d відстань від точки М * до даної прямої. Відхиленням δ точки M * від прямої називається число + d, якщо дана точка і початок координат лежать по різні боки від даної прямої, і -d, якщо дана точка і початок координат розташовані по одну сторону від даної прямої. (Для точок, що лежать на самій прямій, δ = 0). Якщо дані координати x *, y * точки M * і нормальне рівняння прямої xcosa + ysina - p = 0, то відхилення δ точки M * від цієї прямої може бути обчислено за формулою
δ = x * cosa + y * sina - p
Таким чином, щоб знайти відхилення який-небудь точки M * від даної прямої, потрібно в ліву частину нормального рівняння цієї прямої замість поточних координат підставити координати точки M *. Отримане число дорівнюватиме шуканого відхиленню.
Щоб знайти відстань d від точки до прямої. досить обчислити відхилення і взяти його модуль: d = | δ |.
Якщо дано загальне рівняння прямої Ax + By + C = 0, то, щоб привести його до нормального вигляду, потрібно все члени цього рівняння помножити на нормуючий множник μ, який визначається формулою
Знак нормує множники вибирається протилежним знаку вільного члена нормованого рівняння.
Послідовні вершини чотирикутника ABCD точки A (-1; 6), B (-1; -4), C (7; -1), D (2; 9). Встановити, чи є цей опуклого чотирикутника. Дивитися рішення.
Рівняння пучка прямих
Сукупність прямих, що проходять через деяку точку S, називається пучком прямих з центром в S.
Якщо A1x + B1y + C1 = 0 і A2x + B2y + C2 = 0 - рівняння двох прямих, що перетинаються в точці S, то рівняння
альфа (A1x + B1y + C1) + бета (A2x + B2y + C2) = 0, (1)
де альфа, бета - які завгодно числа, не рівні одночасно нулю, визначає пряму, також проходить через точку S.
Більш того, в рівнянні (1) числа альфа, бета завжди можливо підібрати так, щоб воно визначило будь-яку (заздалегідь призначену) пряму, що проходить через точку S, інакше кажучи, будь-яку пряму пучка з центром S. Тому рівняння виду (1) називається рівнянням пучка (з центром в S).
Якщо альфа ≠ 0, то, ділячи обидві частини рівняння (1) на альфа і вважаючи бета / альфа = лямбда, отримаємо
A1x + B1y + C1 + лямбда (A2x + B2y + C2) = 0, (2)
Цим рівнянням можна визначити будь-яку пряму пучка з центром S, крім тієї, яка відповідає альфа = 0. тобто крім прямої
Знайти рівняння прямої, що належить пучку прямих альфа (x + 2y-5) + бета (3x-2y + 1) = 0 і
1) проходить через точку А (3; -1);
2) що проходить через початок координат;
3) Паралельної осі Ox;
4) Паралельної осі Oy;
Полярне рівняння прямої
Пряма, проведена через полюс перпендикулярно до даної прямої, називається її нормаллю. Позначимо буквою Р точку, в якій нормаль перетинає пряму; встановимо на нормалі позитивний напрямок від точки Про до точки Р. Кут, на який потрібно повернути полярну вісь до накладення її на відрізок OP, будемо називати полярним кутом нормалі.
Вивести полярне рівняння прямої, знаючи її відстань від полюса p і полярний кут нормалі альфа Дивитися рішення.
