3 Лінії другого порядку
§3 Лінії другого порядку
Розглянувши геометричні образи, певні рівняннями першого ступеня, природно перейти до вивчення образів, яким відповідають рівняння другого ступеня. При цьому почнемо з розгляду різних об'єктів на координатної площині ху і будемо тим самим розглядати рівняння з двома невідомими, вважаючи, що третя координата z завжди дорівнює нулю.
Загальне рівняння 2-го ступеня з двома невідомими має вигляд
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (1),
при цьому вважається, що хоча б один з коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю.
Лінії, які відповідають цим рівнянням, називаються кривими 2-го порядку.
Найпростішою такою кривою є коло. Нехай центр кола знаходиться в точці М0 (a, b) і радіус кола дорівнює R. Оскільки коло є безліч точок, які знаходяться на заданій відстані від центру М0. тоді
Відзначимо, що в рівнянні відсутній член з твором змінних координат, і коефіцієнти при квадратних змінних координат рівні між собою (в рівнянні (2) ці коефіцієнти рівні 1, але, звичайно, можливо все частині рівняння (2) помножити на будь-яку константу).
Кривими 2-го порядку є криві - еліпс, гіпербола і парабола. Більш того, далі доведемо, що будь-яка лінія 2-го порядку представляє собою або еліпс, або гіперболу, або параболу, або будь-який випадок їх «виродження». Але, перш за все, дамо визначення цих трьох основних кривих, виведемо їх найпростіші рівняння і досліджуємо їх форми.
Визначення. Еліпсом називається безліч точок (на площині), сума відстаней від яких до двох даних точок постійна.
Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки F1 і F2. а початок координат знаходилося на середині відрізка F1 F2 (рис. 19).
Нехай М (х, у) - одна з точок множини, що розглядається. Позначимо через 2с відстань між заданими точками F1 і F2 і через 2а задану суму відстаней F1 М і F2 М. Очевидно, що точка F1 має координати (-с; 0), а точка F2 координати (с; 0).
Згідно з визначенням, маємо:
звідси отримаємо рівняння
По суті, рівняння (4) вже і є рівнянням множини, що розглядається. Але воно має незручний для дослідження вид; перетворимо його до більш простої форми.
Оскільки 2а> 2с (сума двох сторін трикутника більше 3-й боку), то а2-с2> 0. Будемо рахувати
В кінцевому підсумку отримаємо (при вибраній системі координат) рівняння
Очевидно, кожна точка множини, що розглядається, повинна відповідати отриманій рівняння (6). Але оскільки в процесі перетворень двічі зводилися в квадрат обидві частини рівняння, необхідно перевірити, чи не отримані при цьому «зайві» точки. Інакше кажучи, треба перевірити, що кожна точка, координати якої відповідають отриманому рівнянню, належить множині точок, що розглядається.
Попередньо зробимо деякі зауваження про форму лінії, що відповідає отриманому рівнянню.
то крива симетрична відносно осей координат, а тому і щодо початку координат. Із зростанням | x | від 0 до а | у | спадає від b до 0. Точки кривої існують лише в прямокутнику (рис. 20).
Перевіримо тепер, що будь-яка точка лінії, яка визначена отриманим рівнянням, належить заданій множині. Для цього потрібно показати, що якщо координати довільної точки М0 (х0; у0) задовольняють рівняння
Асимптоти гіперболи в цьому випадку взаємно перпендикулярні. Така гіпербола називається равносторонней.
Третьою основною кривою 2-го порядку є парабола.
Визначення. Параболою називається безліч точок (на площині), рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої.
Виберемо вісь абсцис прямокутної декартової системи координат так, щоб вона проходила через задану точку F перпендикулярно заданої прямої L, початок координат нехай перебуває на середині відрізка FK (рис.23). Напрямок осі абсцис вказано на малюнку.
Відстань від точки F до прямої L позначимо через р. Тоді точка F буде мати координати, а рівняння прямої L:.
Нехай М (х; у) - довільна точка розглянутого безлічі, і А - основа перпендикуляра, опущеного з М на L.
Оскільки точка А має координати і, згідно з визначенням, тоді
Легко перевірити, що при зведенні в квадрат ми не ввели «зайві» точки. Дійсно, підставляючи у вираз замість y 2 2px. отримаємо і, отже, рівність.
Оскільки, тоді х не може бути негативним, і всі крапки кривої лежать в правій півплощині. При зростанні х від 0 до - | y | необмежено зростає. Ясно також, що крива симетрична відносно осі абсцис.
Задана точка F називається фокусом параболи, точка перетину параболи з її віссю симетрії - вершиною параболи.
Рівняння (еліпс), (гіпербола), y 2 = 2px (парабола) були отримані при спеціальному, найбільш зручному розташуванні координатних осей. Тому отримані рівняння називаються найпростішими або канонічними рівняннями кривих 2-го порядку.
Для того щоб ознайомитися з методами приведення рівнянь кривих 2-го порядку, заданих в інший системі координат, до такого найпростішого виду, необхідно отримати формули перетворення координатних систем.
^ Приклади РІШЕННЯ ЗАДАЧ
1.171. Записати рівняння кола, що має центр в точці (5; -7) і проходить через точку (2; -3).
Δ Знайдемо радіус кола як відстань від центру до даної його точці
Тепер у рівняння кола (2) підставимо координати центру і величину радіуса, яка знайдена
1.172. Знайти координати центру і радіус кола
х 2 + у 2 -4х-14У + 17 = 0
Δ Перепишемо дане рівняння так:
х 2 -4х + 4 + у 2 -14у + 49 + 17-4-49 = 0
Порівнюючи це рівняння з рівнянням кола (2) отримаємо: a = 2, b = 7, r = 6. Отже, центр окружності знаходиться в точці (2; 7), радіус його дорівнює 6. ▲
1.173. Знайти рівняння еліпса, фокусами якого є точки F1 (0; 0) і F2 (0; 8), а велика піввісь а = 5.
Δ Відстані від точки М (х; у) еліпса до фокусів дорівнюють відповідно і. Згідно з визначенням еліпса маємо, що
Спрощуючи це рівняння, отримаємо
Виділимо повний квадрат щодо «у»
25х 2 +9 (у 2 -8у + 16) = 225
Поділимо на 225 і отримаємо канонічне рівняння еліпса:
Осями симетрії такого еліпса будуть лінії х = 0 і в = 4, велика піввісь а = 5, мала піввісь b = 3. ▲
1. 174. Обчислити півосі гіперболи, якщо директриси задані рівняннями і кут між асимптотами прямий.
Δ директриса пов'язані з півосями гіперболи формулами
a, b - півосі гіперболи. Рівняння асимптот і.
Згідно з умовою задачі отримаємо систему двох рівнянь
Звідси, отже, і b = 6. ▲
1.175 Написати рівняння параболи, що проходить через точку (0; 0) і (1; -2) і симетричною відносно осі Ох.
Δ Рівняння параболи, що проходить через точку (0; 0) симетрично щодо осі Ох має вигляд у2 = 2рх.
Згідно з умовою, що парабола проходить через точку (1; -2), одержуємо (-2) 2 = 2 м
Тобто, шукане рівняння параболи матиме вигляд