Корінь з 2 мінус корінь з 3

Що таке квадратний корінь?


Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже.
І для тих, хто дуже навіть. )

Це поняття дуже просте. Природне, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є складання - є і віднімання. Є множення - є і розподіл. Є зведення в квадрат. Значить є і витяг квадратного кореня! От і все. Ця дія (витяг квадратного кореня) в математиці позначається ось таким значком:

Сам значок називається красивим словом ", радикал",.

Як витягти корінь? Це краще розглянути на прикладах.

Як витягти (або порахувати - це все одно) корінь квадратний з 4? Потрібно просто зрозуміти: яке число в квадраті дасть нам 4? Так звичайно ж 2! значить:

Скільки буде квадратний корінь з 9? А яке число в квадраті дасть нам 9? 3 в квадраті дасть нам 9! тобто:

А ось скільки буде квадратний корінь з нуля? Не питання! Яке число в квадраті нуль дає? Так сам же нуль і дає! значить:

Вловили, що таке квадратний корінь? Тоді вважаємо приклади:

Відповіді (в безладді): 6, 1, 4, 9, 5.

Вирішили? Дійсно, вже куди простіше-то.

Але. Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?

Тужити починає людина. Не вірить він в простоту і легкість коренів. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь.

Все тому, що людина проігнорував кілька важливих пунктиків при вивченні коренів. Потім ці пунктики жорстоко мстяться на контрольні й іспити.

Пунктик перший. Коріння треба дізнаватися в обличчя!

Скільки буде корінь квадратний з 49? Сім? Вірно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку в квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти корінь з 49 нам довелося проробити зворотну операцію - звести 7 в квадрат! І переконатися, що ми не промахнулися. А могли і промахнутися.

В цьому і є складність вилучення коренів. Піднести до квадрата можна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме на себе стовпчиком - та й по всьому. А ось для добування кореня такий простий і безвідмовної технології немає. Доводиться підбирати відповідь і перевіряти його на потрапляння зведенням в квадрат.

Цей складний творчий процес - підбір відповіді - сильно спрощується, якщо ви пам'ятаєте квадрати популярних чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 - ви ж не складаєте четвірку 6 раз? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, да.

Для вільної і успішної роботи з корінням досить знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому туди і назад. Тобто ви повинні легко називати як, скажімо, 11 в квадраті, так і корінь квадратний з 121. Щоб домогтися такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший - вивчити таблицю квадратів. Це здорово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати побільше прикладів. Це здорово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.

І ніяких калькуляторів! Тільки для перевірки. Інакше на іспиті будете гальмувати нещадно.

Отже, що таке квадратний корінь і як витягувати коріння - думаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх використовувати.

Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!

З яких чисел можна витягувати квадратний корінь? Так майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого можна їх використовувати.

Спробуємо обчислити ось такий корінь:

Для цього потрібно підібрати число, яке в квадраті дасть нам -4. Підбираємо.

Що, що не підбирається? 2 + 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось ось. Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі числа знаю. Але вам не скажу). Зробите в інститут - самі дізнаєтеся.

Така ж історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:

Вираз, в якому під знаком квадратного кореня варто негативне число - не має сенсу. Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно! Або, іншими словами:

Квадратні корені з від'ємних чисел витягти не можна!

Зате з усіх інших - можна. Наприклад, цілком можна обчислити

На перший погляд це дуже складно. Підбирати дробу, та в квадрат зводити. Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до все тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!

Ну ладно дробу. Але ж нам ще трапляються вирази типу:

Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний з двох - це число, яке при зведенні в квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне. Ось воно:

Що цікаво, ця дріб не закінчується ніколи. Такі числа називаються ірраціональними. У квадратних коренях це - саме звичайна справа. До речі, саме тому висловлювання з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час таку нескінченну дріб незручно. Тому замість нескінченної дробу так і залишають:

Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось неізвлекаемой, типу:

то так і залишаємо. Це і буде відповідь.

Потрібно чітко розуміти, що під значками

і так далі, ховаються просто числа. Нерівні, кошлаті, ірраціональні, але числа!

Звичайно, якщо корінь з числа витягується рівно. ви зобов'язані це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад

ніхто не оцінить. Треба корінь порахувати і написати

цілком собі повноцінну відповідь.

І, звичайно, треба знати на пам'ять приблизні значення:

Це знання здорово допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.

Пунктик третій. Найхитріший.

Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пунктик. Саме він надає невпевненість у власних силах. Розберемося з цим пунктиком як слід!

Для початку знову ізвлечём квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас з цим коренем?) Нічого, зараз цікаво буде!

Яке число дасть в квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді.

Вірно. Два. Але ж і мінус два дасть в квадраті 4. А тим часом, відповідь

правильний, а відповідь

груба помилка. Ось так.

Так у чому ж справа?

Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного з чотирьох мінус два цілком підходить. Це теж корінь квадратний з чотирьох.

Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратний корінь тільки невід'ємні числа! Тобто нуль і все позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: арифметичний квадратний корінь з числа а - це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при добуванні арифметичного квадратного кореня просто відкидаються. У школі все квадратного кореня - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.

Ну ладно, це зрозуміло. Це навіть і краще - не возитися з негативними результатами. Це ще не плутанина.

Плутанина починається при вирішенні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити ось таке рівняння.

Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):

Така відповідь (абсолютно правильний, до речі) - це просто скорочений запис двох відповідей:

Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь - число завжди невід'ємне! А тут один з відповідей - негативний. Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння. Вирішимо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) Ось так:

Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відділив дужками знаки від кореня. Тепер наочно видно, що сам корінь (в дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки - це результат рішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми повинні записати всі ікси, які при підстановці в вихідне рівняння дадуть вірний результат. У наш рівняння підходить корінь з п'яти (позитивний!) Як з плюсом, так і з мінусом.

Ось так. Якщо ви просто витягаєте квадратний корінь з чого-небудь, ви завжди отримуєте один невід'ємний результат. наприклад:

Тому, що це - арифметичний квадратний корінь.

Але якщо ви вирішуєте якусь квадратне рівняння, типу:

то завжди виходить дві відповіді (з плюсом і мінусом):

Тому, що це - рішення рівняння.

Сподіваюся, що таке квадратний корінь зі своїми пунктик ви усвідомили. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їхні властивості. І які там пунктики і підводні кор. вибачте, камені!)

Все це - в наступних уроках.

Наступна сторінка: Квадратні корені. Формули коренів. Властивості коренів. Як множити коріння?

Якщо Вам подобається цей сайт.

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

А ось тут можна познайомитися з функціями і похідними.

Схожі статті