Корінь з 2 мінус корінь з 3
Що таке квадратний корінь?
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже.
І для тих, хто дуже навіть. )
Це поняття дуже просте. Природне, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є складання - є і віднімання. Є множення - є і розподіл. Є зведення в квадрат. Значить є і витяг квадратного кореня! От і все. Ця дія (витяг квадратного кореня) в математиці позначається ось таким значком:
Сам значок називається красивим словом ", радикал",.
Як витягти корінь? Це краще розглянути на прикладах.
Як витягти (або порахувати - це все одно) корінь квадратний з 4? Потрібно просто зрозуміти: яке число в квадраті дасть нам 4? Так звичайно ж 2! значить:
Скільки буде квадратний корінь з 9? А яке число в квадраті дасть нам 9? 3 в квадраті дасть нам 9! тобто:
А ось скільки буде квадратний корінь з нуля? Не питання! Яке число в квадраті нуль дає? Так сам же нуль і дає! значить:
Вловили, що таке квадратний корінь? Тоді вважаємо приклади:
Відповіді (в безладді): 6, 1, 4, 9, 5.
Вирішили? Дійсно, вже куди простіше-то.
Але. Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?
Тужити починає людина. Не вірить він в простоту і легкість коренів. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь.
Все тому, що людина проігнорував кілька важливих пунктиків при вивченні коренів. Потім ці пунктики жорстоко мстяться на контрольні й іспити.
Пунктик перший. Коріння треба дізнаватися в обличчя!
Скільки буде корінь квадратний з 49? Сім? Вірно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку в квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти корінь з 49 нам довелося проробити зворотну операцію - звести 7 в квадрат! І переконатися, що ми не промахнулися. А могли і промахнутися.
В цьому і є складність вилучення коренів. Піднести до квадрата можна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме на себе стовпчиком - та й по всьому. А ось для добування кореня такий простий і безвідмовної технології немає. Доводиться підбирати відповідь і перевіряти його на потрапляння зведенням в квадрат.
Цей складний творчий процес - підбір відповіді - сильно спрощується, якщо ви пам'ятаєте квадрати популярних чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 - ви ж не складаєте четвірку 6 раз? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, да.
Для вільної і успішної роботи з корінням досить знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому туди і назад. Тобто ви повинні легко називати як, скажімо, 11 в квадраті, так і корінь квадратний з 121. Щоб домогтися такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший - вивчити таблицю квадратів. Це здорово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати побільше прикладів. Це здорово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.
І ніяких калькуляторів! Тільки для перевірки. Інакше на іспиті будете гальмувати нещадно.
Отже, що таке квадратний корінь і як витягувати коріння - думаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх використовувати.
Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!
З яких чисел можна витягувати квадратний корінь? Так майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого можна їх використовувати.
Спробуємо обчислити ось такий корінь:
Для цього потрібно підібрати число, яке в квадраті дасть нам -4. Підбираємо.
Що, що не підбирається? 2 + 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось ось. Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі числа знаю. Але вам не скажу). Зробите в інститут - самі дізнаєтеся.
Така ж історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:
Вираз, в якому під знаком квадратного кореня варто негативне число - не має сенсу. Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно! Або, іншими словами:
Квадратні корені з від'ємних чисел витягти не можна!
Зате з усіх інших - можна. Наприклад, цілком можна обчислити
На перший погляд це дуже складно. Підбирати дробу, та в квадрат зводити. Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до все тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!
Ну ладно дробу. Але ж нам ще трапляються вирази типу:
Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний з двох - це число, яке при зведенні в квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне. Ось воно:
Що цікаво, ця дріб не закінчується ніколи. Такі числа називаються ірраціональними. У квадратних коренях це - саме звичайна справа. До речі, саме тому висловлювання з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час таку нескінченну дріб незручно. Тому замість нескінченної дробу так і залишають:
Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось неізвлекаемой, типу:
то так і залишаємо. Це і буде відповідь.
Потрібно чітко розуміти, що під значками
і так далі, ховаються просто числа. Нерівні, кошлаті, ірраціональні, але числа!
Звичайно, якщо корінь з числа витягується рівно. ви зобов'язані це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад
ніхто не оцінить. Треба корінь порахувати і написати
цілком собі повноцінну відповідь.
І, звичайно, треба знати на пам'ять приблизні значення:
Це знання здорово допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.
Пунктик третій. Найхитріший.
Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пунктик. Саме він надає невпевненість у власних силах. Розберемося з цим пунктиком як слід!
Для початку знову ізвлечём квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас з цим коренем?) Нічого, зараз цікаво буде!
Яке число дасть в квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді.
Вірно. Два. Але ж і мінус два дасть в квадраті 4. А тим часом, відповідь
правильний, а відповідь
груба помилка. Ось так.
Так у чому ж справа?
Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного з чотирьох мінус два цілком підходить. Це теж корінь квадратний з чотирьох.
Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратний корінь тільки невід'ємні числа! Тобто нуль і все позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: арифметичний квадратний корінь з числа а - це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при добуванні арифметичного квадратного кореня просто відкидаються. У школі все квадратного кореня - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.
Ну ладно, це зрозуміло. Це навіть і краще - не возитися з негативними результатами. Це ще не плутанина.
Плутанина починається при вирішенні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити ось таке рівняння.
Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):
Така відповідь (абсолютно правильний, до речі) - це просто скорочений запис двох відповідей:
Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь - число завжди невід'ємне! А тут один з відповідей - негативний. Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння. Вирішимо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) Ось так:
Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відділив дужками знаки від кореня. Тепер наочно видно, що сам корінь (в дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки - це результат рішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми повинні записати всі ікси, які при підстановці в вихідне рівняння дадуть вірний результат. У наш рівняння підходить корінь з п'яти (позитивний!) Як з плюсом, так і з мінусом.
Ось так. Якщо ви просто витягаєте квадратний корінь з чого-небудь, ви завжди отримуєте один невід'ємний результат. наприклад:
Тому, що це - арифметичний квадратний корінь.
Але якщо ви вирішуєте якусь квадратне рівняння, типу:
то завжди виходить дві відповіді (з плюсом і мінусом):
Тому, що це - рішення рівняння.
Сподіваюся, що таке квадратний корінь зі своїми пунктик ви усвідомили. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їхні властивості. І які там пунктики і підводні кор. вибачте, камені!)
Все це - в наступних уроках.
Наступна сторінка: Квадратні корені. Формули коренів. Властивості коренів. Як множити коріння?
Якщо Вам подобається цей сайт.
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
А ось тут можна познайомитися з функціями і похідними.