Як влаштований фрактал

Як був відкритий фрактал

Як влаштований фрактал

Як влаштований фрактал

Фрактал (від латинського «fractus» - розбитий, подрібнений, зламаний) являє собою складну геометричну фігуру, яка складена з декількох нескінченної послідовності частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком, і повторюється при зменшенні масштабу.

Структура фрактала на всіх шкалах є нетривіальною. Тут потрібно уточнити, що мається на увазі. Так ось, регулярні фігури, такі як коло, еліпс або графік гладкої функції влаштовані таким чином, що при розгляді невеликого фрагмента регулярної фігури в досить великому масштабі він буде схожим з фрагментом прямий. Для фракталів ж збільшення масштабу не призводить до спрощення структури фігури, і на всіх шкалах ми бачимо одноманітно складну картину.

Як влаштований фрактал

Фрактали в природі

У природі фрактальними властивостями володіють багато об'єктів, наприклад: крони дерев, кольорова капуста, хмари, кровоносна і альвеолярна системи людини і тварин, кристали, сніжинки, елементи яких шикуються в одну складну структуру, узбережжя (фрактальна концепція дозволила вченим виміряти берегову лінію Британських островів і інші, раніше незмірні, об'єкти).

Як влаштований фрактал

Як влаштований фрактал

Розглянемо будову цвітної капусти. Якщо розрізати один з квіток, очевидно, що в руках залишається все та ж кольорова капуста, тільки меншого розміру. Можна продовжувати різати знову і знову, навіть під мікроскопом - проте все, що ми отримаємо - це крихітні копії цвітної капусти. У цьому простому випадку навіть невелика частина фрактала містить інформацію про всю кінцевій структурі.

Як влаштований фрактал

Яскравим прикладом фрактала в природі є «Романеско», вона ж «романська брокколі» або «кольорова коралова капуста». Перші згадки про це екзотичному овочі відносяться до Італії 16 століття. Нирки цієї капусти ростуть по логарифмічною спіралі. Їй не перестають захоплюватися 3D-художники, дизайнери і кулінари. Останні, причому, особливо цінують овоч за самий витончений смак (слідкувати-горіховий, а не сірчистий відтінок), який тільки може бути у капусти, і за те, що він менш розсипчастий, ніж звичайна кольорова капуста. Крім того, романська брокколі багата на вітамін С, антиоксидантами і каротиноїди.

Як влаштований фрактал

Фрактали в цифровій техніці

Фрактальна геометрія внесла неоціненний вклад у розробку нових технологій в області цифрової музики, а так само зробила можливою стиснення цифрових зображень. Існуючі фрактальні алгоритми стиснення зображення засновані на принципі зберігання стискає зображення замість самої цифрової картинки. Для стискає зображення основна картинка залишається нерухомою точкою. Фірма «Microsoft» використовувала один з варіантів даного алгоритму при виданні своєї енциклопедії, але з тих чи інших причин широкого поширення ця ідея не отримала.

Як влаштований фрактал

Фрактали в мережі

Фрактали в графіку

Фрактали широко застосовуються в комп'ютерній графіці - при побудові зображень дерев, кущів, поверхні морів, гірських ландшафтів, інших природних об'єктів. Завдяки фрактальної графіку був винайдений ефективний спосіб реалізації складних неевклідових об'єктів, чиї образи схожі на природні: це алгоритми синтезу коефіцієнтів фрактала, що дозволяють відтворити копію будь-якої картинки максимально близько до оригіналу. Цікаво, що крім фрактальної «живопису» існують так же фрактальная музика і фрактальна анімація. В образотворчому мистецтві існує напрям, що займається отриманням зображення випадкового фрактала - «фрактальная монотипія» або «стохатіпія».

Як влаштований фрактал

В математичній основі фрактальної графіки лежить фрактальная геометрія, де в основу методів побудови «зображень-спадкоємців» поміщений принцип успадкування від вихідних «об'єктів-батьків». Самі поняття фрактальної геометрії і фрактальної графіки з'явилося всього близько 30 років тому, але вже міцно увійшли в ужиток комп'ютерних дизайнерів і математиків.

Базовими поняттями фрактальної комп'ютерної графіки є:
  • Фрактальний трикутник - фрактальна фігура - фрактальний об'єкт (ієрархія в порядку убування)
  • фрактальна пряма
  • фрактальна композиція
  • «Об'єкт-батько» і «Об'єкт спадкоємець»

Також як в векторної і тривимірній графіці, створення фрактальних зображень математично обраховуються. Головна відмінність від перших двох видів графіки в тому, що фрактальное зображення будується за рівнянням або системі рівнянь, - нічого крім формули в пам'яті комп'ютера для виконання всіх обчислень зберігати не потрібно, - і така компактність математичного апарату дозволила використання цієї ідеї в комп'ютерній графіці. Просто змінюючи коефіцієнти рівняння, можна з легкістю отримати зовсім інше фрактальное зображення - за допомогою декількох математичних коефіцієнтів задаються поверхні і лінії дуже складної форми, що дозволяє реалізувати такі прийоми композиції, як горизонталі і вертикалі, симетрію і асиметрію, діагональні напрямки і багато іншого.

Як побудувати фрактал?

Творець фракталів виконує роль художника, фотографа, скульптора, і вченого-винахідника одночасно. Які мають бути етапи роботи створення малюнка «з нуля»?

  • задати форму малюнка математичною формулою
  • досліджувати збіжність процесу і варіювати його параметри
  • вибрати вид зображення
  • вибрати палітру кольорів

Розглянемо пристрій довільної фрактальної геометричної фігури. В її центрі знаходиться найпростіший елемент - рівносторонній трикутник, який отримав однойменну назву: «фрактальний». На середньому відрізку сторін побудуємо рівносторонній трикутники зі стороною, яка дорівнює одній третині від сторони вихідного фрактального трикутника. За тим же принципом будуються ще більш дрібні трикутники-спадкоємці другого покоління - і так до нескінченності. Об'єкт, який в результаті вийшов, називається «фрактальної фігурою», з послідовностей якої отримуємо «фрактальную композицію».

Схожі статті