Інтерполяційний поліном Лагранжа - студопедія
Припустимо, є таблиця з двох стовпців. . . Потрібно знайти поліном нижчого ступеня, який приймає значення для кожного аргументу. . тобто збігається зі значеннями табличній функції в вузлах. Наближено вважатимемо, що для будь-якого значення аргументу t. . Подібне наближена рівність називають інтерполяційної формулою. Отже, треба знайти інтерполяційну формулу, а потім оцінити її похибка.
Знайдемо, перш за все, поліном (многочлен), який приймає значення 1 в одній вузловій точці і 0 у всіх інших. Очевидно нескладна функція
де штрих у знака твори означає. є необхідним полиномом ступеня n-1.
Зауважимо, що через n точок однозначно можна провести поліном ступеня не вище n-1, наприклад, через 2 точки можна однозначно провести пряму (криву 1-го порядку), через 3 точки - параболу (криву 2-го порядку) і т.д .
Легко перевірити, що дорівнює 1, якщо; і 0, коли. Домножим на. отриманий поліном приймає значення в j-й вузловий точці і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. Тому сума таких поліномів буде приймати значення для аргументу:
Відзначимо: j - порядковий номер проміжного полінома в сумі, яка будує поліном Лагранжа; i - номер будь-якого вузла таблиці.
Це і є шуканий поліном ступеня n-1, що проходить через всі n вузлів таблиці. . .
Підкреслимо: якщо дано n вузлових точок, то відповідний поліном ступеня n-1, що проходить через ці точки, однозначно (в межах помилок округлення) визначено, незалежно від способу побудови і системи позначень. Якщо використовуються різні вузлові точки, то, звичайно, поліноми можуть бути різними, але однакові вузлові точки повинні приводити до однакових поліномами (в межах помилок округлення).
Зажадавши, щоб поліном приймав значення для кожного аргументу. ми побудували поліном Лагранжа. Якщо зажадати, щоб поліном приймав не тільки значення табличній функції в вузлах, але і перша похідна від полінома дорівнювала першої похідної табличній функції в вузлах, то ми побудуємо поліном Ерміта.
Приклад. дана таблиця
Це інтерполяційний поліном 2-го порядку - парабола.
Для t = 2, L = 7.33.
На цьому малюнку показаний графік полінома Лагранжа, побудованого по 5-ти вузлів - поліном 4-го порядку.
На цьому малюнку показаний графік полінома Лагранжа, побудованого по 8-ти вузлів - поліном 7-го порядку.
З малюнків видно, що значення табличній функції між вузлами полиномом Лагранжа представляються незадовільно. Крім того, поліном Лагранжа незручний для практичного використання. На практиці зазвичай відома необхідна точність результату, а безліч використовуваних вузлів можна вибирати.