евклідові простору
Визначення. У лінійному просторі V задано скалярний добуток векторів, якщо є правило, за яким будь-яким двом векторам і зіставляється число. задовольняє наступних чотирьох аксіомам:
З аксіом випливають такі властивості скалярного твори:
Визначення. Лінійне простір, на якому задано скалярний добуток векторів, називається евклідовому простором. n -мірним евклидово простір позначається.
При в n-мірному просторі можна визначити скалярне множення, тобто можна перетворити цей простір в евклідів.
Приклад. Простір. на якому задано скалярний добуток векторів і формулою
буде евклідовим. Виконання аксіом очевидно.
Зі шкільного курсу відомо, що для векторів з справедливо рівність:
Ці рівності підказують нам, як розумним способом визначити в (n> 3) поняття модуля вектора і кута між векторами.
Визначення. Для векторів в модуль вектора і косинус кута між векторами і визначається наступними формулами:
Оскільки . то нам необхідно довести, що. або.
Це випливає з наступного нерівності:
Нерівність Коші - Буняковського: Для будь-яких двох векторів і в справедливо нерівність.
Доведення. Візьмемо якусь кількість і складемо вектор. Тоді Позначимо. . . тоді Так як то дискримінант квадратного тричлена тобто . . Замінюючи на скалярні твори, отримуємо. що й потрібно було довести.
Доведення. . Витягуємо корінь з обох частин нерівності, отримуємо
Визначення. Вектори і з називаються ортогональними. якщо
Для ортогональних векторів використовується позначення. У разі ортогональность означає перпендикулярність.
Властивості ортогональних векторів:
5. якщо. то справедлива теорема Піфагора
Визначення. Вектор ортогонален системі векторів. якщо він ортогонален будь-якому вектору системи.
Теорема. Якщо ненульовий вектор ортогонален лінійно незалежної системи векторів. то система теж лінійно незалежна.
Доведення. Припустимо, що система лінійно залежна, тобто
Так як - лінійно незалежна система, то. Помножимо (1) скалярно на. отримаємо. тому . то. Прийшли до суперечності, отже, система векторів лінійно незалежна.
Визначення. Система векторів в називається ортогональної. якщо всі вектори в ній попарно ортогональні.
Теорема. Будь-яка ортогональна система ненульових векторів лінійно незалежна.
Доведення. Нехай дана ортогональна система векторів. причому і при. Припустимо гидке: є такі. що виконується рівність. Помноживши рівність скалярно на. отримуємо. Оскільки . то. Прийшли до суперечності.
Опишемо процес переходу від лінійно незалежної системи векторів до ортогональної системі векторів.
Визначення. Процесом ортогоналізації системи векторів називається спосіб переходу від будь-якої лінійно незалежної системи векторів з до ортогональної системі ненульових векторів.
2. Покладемо. знайдемо коефіцієнт такої, що.
Будь-яке евклидово простір володіє ортогональними базами.
Ортонормированном системи векторів
Визначення. Ортогональна система векторів в називається ортонормованій. якщо довжина будь-якого вектора дорівнює одиниці.
Якщо ортогональна система векторів не містить нульових векторів, то система векторів буде ортонормованій.
У всякому евклідовому просторі існує ортонормованій базис.