Довірча ймовірність і довірчий інтервал - студопедія
Розглянуті точкові оцінки параметрів розподілу дають оцінку у вигляді числа, найбільш близького до значення невідомого параметра. Такі оцінки використовують тільки при великому числі вимірювань. Чим менше об'єм вибірки, тим легше допустити помилку при виборі параметра. Для практики важливо не тільки отримати точкову оцінку, а й визначити інтервал, званий довірчим, між кордонами якого з заданою довірчою ймовірністю
де q - рівень значущості; ХН. хВ - нижня і верхня межі інтервалу, знаходиться істинне значення оцінюваного параметра.
У загальному випадку довірчі інтервали можна будувати на основі нерівності Чебишева. При будь-якому законі розподілу випадкової величини, яка має моментами перших двох порядків, верхня межа ймовірності попадання відхилення випадкової величини х від центру розподілу Хц в інтервал tSx описується нерівністю Чебишева
де Sx - оцінка СКО розподілу; t - позитивне число.
Для знаходження довірчого інтервалу не потрібно знати закон розподілу результатів спостережень, але потрібно знати оцінку СКО. Отримані за допомогою нерівності Чебишева інтервали виявляються занадто широкими для практики. Так, довірчої ймовірності 0,9 для багатьох законів розподілів відповідає довірчий інтервал 1,6SX. Нерівність Чебишева дає в даному випадку 3,16SX. У зв'язку з цим воно не набуло широкого поширення.
У метрологічній практиці використовують головним чином квантільние оцінки довірчого інтервалу. Під 100P-процентним, Квантиль хр розуміють абсциссу такої вертикальної лінії, зліва від якої площа під кривою щільності розподілу дорівнює Р%. Інакше кажучи, квантиль - це значення випадкової величини (похибки) з заданою довірчою ймовірністю Р. Наприклад, медіана розподілу є 50% -ним Квантиль х0 5.
На практиці 25- і 75% -ний квантилі прийнято називати згинами, або квантиль розподілу. Між ними укладено 50% всіх можливих значень випадкової величини, а решта 50% лежать поза ними. Інтервал значень випадкової величини х між х0,05 і х0,95 охоплює 90% всіх її можливих значень і називається інтерквантільним проміжком з 90% -ною вірогідністю. Його протяжність дорівнює d0,9 = х0,95 - х0,05.
На підставі такого підходу вводиться поняття квантіл'них значень похибки, тобто значень похибки з заданою довірчою ймовірністю Р - кордонів інтервалу невизначеності ± = ± (xp -x1-P) / 2 = ± dP / 2. На його протяжності зустрічається Р% значень випадкової величини (похибки), a q = (1-Р)% загального їх числа залишаються за межами цього інтервалу.
Для отримання інтервального оцінки нормально розподіленої випадкової величини необхідно:
- визначити точкову оцінку МО і СКО Sx випадкової величини;
- знайти верхню Хb і нижню хH кордону відповідно до рівняннями
отриманими з урахуванням (6.1). Значення хн і хв визначаються з таблиць значень інтегральної функції розподілу F (t) або функції Лапласа Ф (t).
Отриманий довірчий інтервал задовольняє умові
де n - число виміряних значень; zp - аргумент функції Лапласа Ф (t), що відповідає ймовірності Р / 2. В даному випадку zp називається квантільним множником. Половина довжини довірчого інтервалу DP = Zp Sx / називається довірчою кордоном похибки результату вимірів.
При відміну закону розподілу випадкової величини від нормального необхідно побудувати його математичну модель і визначати довірчий інтервал з її використанням.
Розглянутий спосіб знаходження довірчих інтервалів справедливий для досить великого числа спостережень n. коли = Sx. Слід пам'ятати, що обчислюється оцінка СКО Sx є лише деяким наближенням до істинного значення σ. Визначення довірчого інтервалу при заданої ймовірності виявляється тим менш надійним, ніж менше число спостережень. Не можна користуватися формулами нормального розподілу при малому числі спостережень, якщо немає можливості теоретично на основі попередніх дослідів з досить великим числом спостережень визначити СКО.
Розрахунок довірчих інтервалів для випадку, коли розподіл результатів спостережень нормально, але їх дисперсія невідома, тобто при малому числі спостережень n, можливо виконати з використанням розподілу Стьюдента S (t, k). Воно описує щільність розподілу відносини (дробу Стьюдента):
де Q - істинне значення вимірюваної величини. Величини, Sx і обчислюються на основі дослідних даних і являють собою точкові оцінки МО, СКО результатів вимірювань і СКО середнього арифметичного значення.
Імовірність того, що дріб Стьюдента в результаті виконаних спостережень прийме деяке значення в інтервалі (-tp; + tp)
де k - число ступенів свободи, рівну (n - 1). Величини tp (звані в даному випадку коефіцієнтами Стьюдента), розраховані за допомогою двох останніх формул для різних значень довірчої ймовірності і числа вимірювань, табульовані. Отже, за допомогою розподілу Стьюдента можна знайти ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного від істинного значення вимірюваної величини не перевищує
У тих випадках, коли розподіл випадкових похибок не є нормальним, все ж часто користуються розподілом Стьюдента з наближенням, ступінь якого залишається невідомою. Розподіл Стьюдента застосовують при числі вимірювань n <30, поскольку уже при n = 20. 30 оно переходит в нормальное и вместо уравнения ( ) можно использовать уравнение ( ). Результат измерения записывается в виде: Q = ± tSx / ; P = Рд, где РД - конкретное значение доверительной вероятности. Множитель t при большом числе измерений n равен квантильному множителю zp. При малом n он равен коэффициенту Стьюдента.
Отриманий результат вимірювання не є одним конкретним числом, а являє собою інтервал, усередині якого з певною ймовірністю Рд знаходиться істинне значення вимірюваної величини. Виділення середини інтервалу зовсім не передбачає, що справжнє значення ближче до нього, ніж до інших точках інтервалу. Воно може бути в будь-якому місці інтервалу, а з імовірністю 1-РД навіть поза ним.