Дисперсія - це
в теорії ймовірностей - міра DX відхилення випадкової величини Xот її математичного. очікування, що визначається рівністю:
Коли говорять про Д. випадкової величини X, завжди припускають, що існує математичного. очікування при цьому Д. DX може існувати (т. е. 'бути кінцевою) або не існувало (т. е. бути нескінченною). У сучасній теорії ймовірностей математичного. сподівання випадкової величини визначається через інтеграл Лебега по простору елементарних подій. Однак важливу роль грають формули, що виражають математичного. очікування різних функцій від випадкової величини Xчерез розподіл цієї випадкової величини на множині дійсних чисел (див. Математичне сподівання). Для Д. DX ці формули мають вигляд:
для дискретної випадкової величини X, що приймає рахункове число різних значень а; з вірогідністю р i = Ра i>;
для випадкової величини X, що має щільність розподілу ймовірностей р (х);
в загальному випадку, де F (x) - функція розподілу випадкової величини Xі інтеграл розуміється в сенсі Лебега - Стілтьєса або Рімана - Стілтьєса.
Д. не є єдиною мислимій мірою відхилення випадкової величини від її математичного. очікування. Можливі інші заходи відхилення, влаштовані за тим же принципом, напр. і т. д. а також заходи відхилення, засновані на Квантиль. Особлива важливість Д. пояснюється головним чином тією роллю, доурую грає це поняття для граничних теорем. Грубо кажучи, виявляється, що якщо знати математичного. очікування і Д. суми великого числа випадкових величин, то можна повністю визначити закон розподілу цієї суми: він виявляється нормальним (приблизно) з відповідними параметрами (див. Нормальний розподіл).
Таким чином, найважливіші властивості Д. пов'язані з виразом для Д. D (X1 +. + Х п) суми випадкових величин Х 1. Х п:
позначає ковариацию випадкових величин Х i і Xj. Якщо випадкові величини Х 1. Х п попарно незалежні, то cov (Xi. Xj) = 0. Тому для попарно незалежних випадкових величин
Протилежне твердження невірно: з (2) не слід незалежність. Однак, як правило, застосування формули (2) базується на незалежності випадкових величин. Строго кажучи, для справедливості (2) досить лише, щоб cov (Xi. Xj) = 0, т. Е. Щоб випадкові величини X1,. Х п були попарно некорреліровани.
Застосування поняття Д. розвиваються за наступними двома напрямками. По-перше, застосування в області граничних теорем теорії ймовірностей. Якщо послідовність випадкових величин Х 1. Х 2,. Х п. Володіє тим властивістю, що при то для будь-якого e> 0 при
(Див. Чебишева нерівність), т. Е. Практично при великих пслучайная величина Х n збігається з невипадковою величиною Е Х п. Розвиток цих міркувань приводить до доказу закону великих чисел (див. Великих чисел закон), до доказу спроможності оцінок (див. Заможна оцінка) в математич. статистикою, а також до інших застосувань, в яких брало встановлюється збіжність за ймовірністю випадкових величин. Інше застосування в області граничних теорем пов'язано з поняттям нормування. Нормировка випадкової величини Xпроізводітся шляхом вирахування математичного. очікування і ділення на середнє квадратичне відхилення іншими словами, розглядається величина Нормировка послідовності випадкових величин зазвичай необхідна для отримання сходящейся послідовності законів розподілу, зокрема збіжності до нормального закону з параметрами 0 і 1. По-друге, застосування поняття Д. в математич. статистикою при обробці вибірок. Якщо дивитися на випадкову величину як на реалізацію випадкового експерименту, то довільне зміна шкали відліку призведе до перетворення випадкової величини Xв величину Y = sX + a, де а будь-яке дійсне число, s- позитивне число. Тому часто має сенс розглядати не один тсоретіч. закон розподілу F (x) випадкової величини X, а тип законів, т. е. сімейство законів розподілу виду залежать принаймні від двох параметрів АІ ст. Якщо Еx = 0, DX = 1, то EY = a, DY = s 2. Тому параметри теоретич. закону мають наступний сенс а = Еy і Звідси випливає спосіб визначення цих параметрів по вибірці.
Літ. : [1] Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірностей, 5 видавництво. М. 1969; [2] Феллер В. Введення в теорію ймовірностей і її застосування, пер. з англ. т. 1-2, М. 1964-67; [3] Крамер Г. Математичні методи статистики, пер. з англ. 2 изд. М. 1975.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.