вибіркова дисперсія
Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить вибіркова дисперсія. Цю величину вводять для того, щоб охарактеризувати розсіювання спостережуваних значень кількісної ознаки вибірки навколо середнього значення.
Визначення. Вибіркової дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилення спостережуваних значень ознаки від їх середнього значення. Якщо значення ознаки x1. x2. ..., xk мають відповідно частоти n1. n2. ..., nk. причому n1 + n2 + ... + nk = n, то
Ця оцінка є зміщеною, так як,
де DГ - генеральна дисперсія - середнє арифметичне квадратів відхилення значення ознаки генеральної сукупності від їх середнього значення.
Теорема. Вибіркова дисперсія дорівнює середньому квадратів значень ознаки мінус квадрат вибіркової середньої.
Для обчислення вибіркової дисперсії ця формула найбільш зручна.
Зауваження. Якщо перейти до умовних варіантів ui = xi - c. то дисперсія при цьому не зміниться. Тоді.
Оцінка генеральної дисперсії по виправленої вибіркової.
Нехай з генеральної сукупності в результаті n незалежних спостережень
над кількісним ознакою Х витягнута повторна вибірка обсягу n:
При цьому n1 + n2 + ... + nk = n. Потрібно за даними вибірки знайти невідому генеральну дисперсію DГ. Якщо в якості оцінки DГ прийняти вибіркову дисперсію, то ця оцінка буде приводити до систематичних помилок, даючи занижене значення DГ. Пояснюється це тим, що математичне очікування вибіркової дисперсії не дорівнює оцінюваної DГ. а так само.
Легко «виправити» вибіркову дисперсію так, щоб її математичне очікування дорівнювало генеральної дисперсії. Досить для цього помножити на дріб n / (n-1). Зробивши це, ми отримаємо виправлену дисперсію. яку зазвичай позначають.
Незміщеної оцінкою генеральної дисперсії служить виправлена вибіркова дисперсія:
Більш зручна форма:
В умовних варіантах вона має вигляд:
причому якщо ui = xi - c, то; якщо. то.
З генеральної сукупності витягнута вибірка обсягом n = 60
Знайти несмещенную оцінку генеральної середньої.
Рішення. Незміщеної оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня:,
де # 9472; варіанти вибірки, # 9472; частота варіанти; обсяг вибірки.