циклічні групи
Група G називається циклічною, якщо всі її елементи є ступенями одного елемента. Цей елемент g називається утворюючим циклічної групи G.
Приклади циклічних груп:
1. Група Z цілих чисел з операцією додавання.
2. Група всіх комплексних коренів ступеня n з одиниці з операцією множення. Оскільки, група є циклічною і елемент g = -Образ.
Ми бачимо, що циклічні групи можуть бути як кінцевими так і нескінченними.
3. Нехай (G, *) - довільна група і довільний елемент. Безліч є циклічною групою з утворюючим елементом g. Вона називається циклічною підгрупою, породженої елементом g, а її порядок - порядком елемента g. По теоремі Лагранжа порядок елемента є дільником порядку групи. відображення
діє за формулою:, очевидно є
гомоморфизмом і його образ збігається з. Відображення сюр'ектівно тоді і тільки тоді, коли група G - циклічна і g її утворює елемент. У цьому випадку будемо називати стандартним гомоморфизмом для циклічної групи G c обраної утворює g.
Застосовуючи в цьому випадку теорему про гомоморфізм, ми отримуємо важливе властивість циклічних груп: будь-яка циклічна група є гомоморфним чином групи Z.
Оскільки, будь-яка циклічна група коммутативна і ми будемо використовувати аддитивную запис, так що n-ий степінь g буде виглядати як ng і називатися n-кратним елемента g, а нейтральний елемент G ми будемо називати нулем і позначати 0.
Домовимося ще про таке позначенні. Якщо F довільна група, записана аддитивно, то nF означатиме підмножина, елементами якого є n-кратні елементів з F. Якщо група F коммутативна, то nF - підгрупа F оскільки n (x-y) = nx-ny.
Теорема про підгрупах групи Z
Якщо H -Підгрупа групи Z. то H = nZ. де n - деяке невід'ємне ціле число і означає H - циклічна група з утворюючим елементом n.
Якщо H -трівіальная підгрупа, то теорема вірна і n = 0. Нехай H нетривіальна. В цьому випадку в H містяться ненульові числа і протилежні до них, а значить і позитивні цілі. Позначимо найменше з них буквою n. Тоді. Якщо - будь-яке число, то розділивши m на n із залишком, отримаємо: m = kn + r, причому. Але тоді r = m-kn і значить r = 0. Тому H = nZ. що і було потрібно.
Якщо k 0 - будь-яке ціле, то відображення певне формулою є изоморфизмом і відображає підгрупу на підгрупу, а значить визначає ізоморфізм.
Теорема про структуру циклічних груп
Будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна Z. Будь кінцева циклічна група порядку n ізоморфна Z / nZ.
Як було зазначено вище, будь-яка циклічна група G ізоморфна Z / H. де H- деяка підгрупа Z. За попередньою теоремою H = nZ. де. Якщо n = 0, G ізоморфна Z і, отже, нескінченна. Якщо n> 0, Z розбивається на n суміжних класів: nZ, nZ + 1, nZ + 2.nZ + (n-1) і тому факторгруппа Z / H має порядок n.
Надалі групу Z / nZ будемо позначати. Зокрема, .
Відзначимо, що в наших позначеннях, - тривіальна група.
Елементами кінцевої групи по визначенню є суміжні класи:
Z. nZ +1. nZ + n-1>, які позначаються і називаються відрахуваннями по модулю n. а операція в - складанням по модулю n.
Теорема про підгрупах групи (n> 0).
Якщо H підгрупа групи, то H = причому n ділиться на m без остачі. Порядок H дорівнює = d. і значить.
Розглянемо стандартний гомоморфізм. K = - підгрупа Z і отже K = mZ для деякого цілого m. Звідси випливає, що H =. При цьому і тому n = dm де d - ціле. По теоремі про гомоморфізм.
З доведених теорем випливає, що будь-яка підгрупа циклічної групи циклічна. Ми бачимо також, що для кожного цілого d, яка розділяє порядок n кінцевої циклічної групи є і притому рівно одна підгрупа порядку d, тобто для кінцевих циклічних груп справедлива теорема зворотна теоремі Лагранжа.