циклічна група
Циклічна група - група (G. ⋅). яка може бути породжена одним елементом a. тобто всі її елементи є ступенями a (або, якщо використовувати аддитивную термінологію, представимо у вигляді na. де n - ціле число). Математичне позначення: G = ⟨a⟩.
Незважаючи на свою назву, група не обов'язково повинна буквально являти собою «цикл». Може трапитися так, що всі ступені g n> будуть різними. Породжена таким чином група називається нескінченною циклічної групою і ізоморфна групі цілих чисел по складанню (Z. +). , +).>
- Всі циклічні групи абелеві.
- Кожна кінцева циклічна група ізоморфна групі Z n _> - <0. 1. …. n − 1>> Зі складанням по модулю n (її також позначають Z / n Z / n \ mathbb>), а кожна нескінченна - ізоморфна Z>. групі цілих чисел по складанню.
- Зокрема, для кожного натурального числа n існує єдина (з точністю до ізоморфізму) циклічна група порядку n.
- Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.
- У циклічної групи порядку n існує рівно φ (n) породжують елементів, де φ - функція Ейлера
- Якщо p - просте число. то будь-яка група порядку p циклічна і єдина з точністю до ізоморфізму (це випливає з теореми Лагранжа).
- Пряме твір двох циклічних груп порядків n і m циклічно тоді і тільки тоді, коли n і m взаємно прості.
- Наприклад, Z 12 _> ізоморфна Z 3 × Z 4 _ \ times \ mathbb _>. але не ізоморфна Z 6 × Z 2 _ \ times \ mathbb _>.
- Основна теорема про конечнопорождённих абелевих групах стверджує, що будь-яка конечнопорождённая абелева група єдиним чином розкладається в прямий добуток примарной циклічних груп. Примарной групою може бути циклічна група Z p n _ >>. де p - просте число, або Z>.
- Мультиплікативна група будь-якого кінцевого поля є циклічної (вона породжується елементом поля найбільшого порядку).
- Кільце ендоморфізм групи Z n _> ізоморфно кільцю Z n _>. При цьому ізоморфізмі числу r відповідає ендоморфізм Z n _>. який зіставляє елементу суму r його примірників. Таке відображення буде біекція. тоді і тільки тоді, коли r взаємно просто з n. так що група автоморфізмів Z n _> ізоморфна Z n × _ ^>.
- Група коренів з одиниці ступеня n по множенню.
- Група Галуа будь-якого кінцевого розширення кінцевого поля конечна і циклічна; назад, якщо дано кінцеве поле F і кінцева циклічна група G. існує кінцеве розширення F. групою Галуа якого буде G.
Затвердження. Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.
Доведення. Нехай G - циклічна група і H - підгрупа групи G. Якщо група G тривіальна (складається з одного елемента), то H = G і H циклічна. Якщо H - тривіальна підгрупа (складається з одиничного елемента або збігається з усією групою G), то H циклічна. Далі в ході докази будемо вважати, що G і H не є тривіальними.
Нехай g - утворює елемент групи G. а n - найменше позитивне ціле число, таке що g n ∈ H \ in H>. Затвердження: H = ⟨g n⟩ \ rangle>