Циклічна група - це
В теорії груп група називається циклічною. якщо вона може бути породжена одним елементом a. тобто всі її елементи є ступенями a (або, якщо використовувати аддитивную термінологію, представимо у вигляді na. де n - ціле число). Математичне позначення:.
Незважаючи на свою назву, група не обов'язково повинна буквально являти собою «цикл». Може трапитися так, що всі ступені будуть різними. Породжена таким чином група називається нескінченною циклічної групою і ізоморфна групі цілих чисел по складанню ().
- Всі циклічні групи абелеві.
- Кожна кінцева циклічна група ізоморфна групі - зі складанням по модулю n (її також позначають), а кожна нескінченна - ізоморфна, групі цілих чисел по складанню.
- Зокрема, для кожного натурального числа n існує єдина (з точністю до ізоморфізму) циклічна група порядку n.
- Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.
- У циклічної групи порядку n існує рівно φ (n) породжують елементів, де φ - функція Ейлера
- Якщо p - просте число. то будь-яка група порядку p циклічна і єдина з точністю до ізоморфізму (це випливає з теореми Лагранжа).
- Пряме твір двох циклічних груп порядків і циклічно тоді і тільки тоді, коли n і m взаємно прості.
- Наприклад, ізоморфна, але не ізоморфна.
- Основна теорема про конечнопорождённих абелевих групах стверджує, що будь-яка конечнопорождённая абелева група єдиним чином розкладається в прямий добуток примарной циклічних груп. Примарной групою може бути циклічна група, де p - просте число, або.
- Мультиплікативна група будь-якого кінцевого поля є циклічної (вона породжується елементом поля найбільшого порядку).
- Кільце ендоморфізм групи ізоморфно кільцю. При цьому ізоморфізмі числу r відповідає ендоморфізм, який зіставляє елементу суму r його примірників. Таке відображення буде біекція. якщо і тільки якщо r взаємно просто з n. так що група автоморфізмів ізоморфна.
- Група коренів з одиниці ступеня n по множенню.
- Група Галуа будь-якого кінцевого розширення кінцевого поля конечна і циклічна; назад, якщо дано кінцеве поле F і кінцева циклічна група G. існує кінцеве розширення F групою Галуа якого буде G.
докази
Затвердження. Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.
Доведення. Нехай - циклічна група і - підгрупа групи. Якщо група тривіальна (складається з одного елемента), то і циклічна. Якщо - тривіальна підгрупа (складається з одиничного елемента або збігається з усією групою G), то циклічна. Далі в ході докази будемо вважати, що і не є тривіальними.
Нехай - утворює елемент групи, а - найменше позитивне ціле число, таке що. затвердження:
Отже,.
Нехай. . Відповідно до алгоритму розподілу із залишком. . Виходячи з того, яким чином ми вибрали і того, що, робимо висновок, що. . Отже,.
література
Дивитися що таке "Циклічна група" в інших словниках:
циклічна група - ciklinė grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. cyclic group vok. zyklische Gruppe, f rus. циклічна група, f pranc. groupe cyclique, m ... Fizikos terminų žodynas
ЦИКЛІЧНА ГРУПА - група з одним створює. Все Ц. р абелеві. Будь-яка кінцева група простого порядку Ц. р Існує по одній, з точністю до ізоморфізму, Ц. р кожного кінцевого порядку пі одна нескінченна Ц. р ізоморфна аддитивной групі цілих чисел. ... ... Математична енциклопедія
Циклічна група - (математична) Група, все елементи якої є ступенями одного з її елементів. Прикладом кінцевої Ц. р служить сукупність коренів n го ступеня з одиниці. Група цілих чисел, що розглядається по додаванню, утворює нескінченну Ц. г ... Велика радянська енциклопедія
ГРУПА - безліч, на до ром визначена операція, наз. множенням і задовольняє спец. умовами (груповим аксіом): в Г. існує одиничний елемент; для кожного елемента Г. існує зворотний; операція множення асоціативна. Поняття Р. виникло ... ... Фізична енциклопедія
Мультиплікативна група кільця відрахувань - Наведена система відрахувань по модулю m безліч всіх чисел повної системи лишків за модулем m, взаємно простих з m. Наведена система відрахувань по модулю m складається з φ (m) чисел, де φ (·) функція Ейлера. Як наведеної системи відрахувань ... ... Вікіпедія
Кінцева група - Симетрія сніжинки пов'язана з групою поворотів на кут, кратний 60 ° Кінцева група алгебраїчна група, яка містить кінцеве число елементів (це число називається її порядком). Далі група передбачається мультиплікативної, тобто операція в ... ... Вікіпедія
Звичайно певна група - Для загального опису теорії груп см. Група (математика) і Теорія груп. Курсив позначає посилання на цей словник. # А Б В Г Д Е Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У ... Вікіпедія
Звичайно певна група - Для загального опису теорії груп см. Група (математика) і Теорія груп. Курсив позначає посилання на цей словник. # А Б В Г Д Е Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У ... Вікіпедія
Конечнопорожденная група - Для загального опису теорії груп см. Група (математика) і Теорія груп. Курсив позначає посилання на цей словник. # А Б В Г Д Е Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У ... Вікіпедія
Конечнопорождённая група - Для загального опису теорії груп см. Група (математика) і Теорія груп. Курсив позначає посилання на цей словник. # А Б В Г Д Е Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У ... Вікіпедія