Арктангенс і арккотангенс числа a
Арктангенс і арккотангенс числа а
визначає кут φ неоднозначно. Справді, якщо φ0 є кут, що задовольняє рівності (1), то в силу періодичності тангенса цього рівності будуть задовольняти і кути
де n пробігає всі цілі числа (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3.). Такий неоднозначності можна уникнути, якщо додатково вимагати, щоб кут φ знаходився в межах - - π / 2 <φ <π /2 . Действительно, в интервале
функція у = tg x монотонно зростає від - ∞ до + ∞.
Отже, в цьому інтервалі тангенсоіда обов'язково перетнеться з прямою у = а до того ж лише в одній точці. Абсциссу цієї точки прийнято називати арктангенсом числа а і позначати arctga.
Арктангенс а є кут, укладений в інтервалі від - π / 2 до + π / 2 (або від -90 ° до + 90 °), тангенс якого дорівнює а.
Зауважимо, що з рівності
не можна зробити висновок, що arctg 0 = π. Адже кут в π радіанoв не влучає у інтервал
(- π / 2. Π / 2) і тому він не може бути арктангенсом нуля. Новомосковсктель, мабуть, вже здогадався, що arctg 0 = 0.
так само як і рівність (1), визначає кут φ неоднозначно. Щоб позбутися від цієї неоднозначності, потрібно на шуканий кут накласти додаткові обмеження. В якості таких обмежень ми виберемо умова
Якщо аргумент х безперервно зростає в інтервалі (0, π), то функція у = ctg x буде монотонно спадати від + ∞ до - ∞. Тому в даному інтервалі котангенсоіда обов'язково перетне пряму у = а до того ж лише в одній точці.
Абсциссу цієї точки прийнято називати арккотангенса числа а і позначати arcctga.
Арккотангенс а є кут, укладений в інтервалі від 0 до π (або від 0 ° до 180 °), котангенс якого дорівнює а.
1) arcctg 0 = π / 2. або arcctg 0 = 90 °. Дійсно, кут в π / 2 радіанів потрапляє в інтервал "(0, π) і котангенс його дорівнює 0.
Зауважимо, що з рівності
не можна зробити висновок, що arcctg (-1) = - 45 °. Адже кут в - 45 ° не влучає у інтервал (0 °, 180 °) і тому він не може бути арккотангенса числа -1. Очевидно, що
arcctg (- 1) = 135 °.
II. Які значення можуть приймати величини а і b. якщо b = arctg a?
III. Які значення можуть приймати величини а і b. якщо b = arcctg а?
IV. В. яких чвертях закінчуються кути:
а) arctg 5; в) arcctg 3; д) π / 2 - arcctg (- 4);
V. Чи можуть вираження arctgа і arcctgа приймати значення: а) одного знака; б) різних знаків?
VI. Знайти синуси, косинуси, тангенси і котангенс наступних кутів:
б) arctg (-0,75); г) arcctg (0,75).
VII. Довести тотожності: