Алгебраїчне числове поле
- Найменша і базове числове поле - поле раціональних чисел Q>.
- Гаусові раціональні числа, що позначаються Q (i) (i)> - перший нетривіальний приклад числового поля. Його елементи - вираження виду
- Більш загально, для будь-якого вільного від квадратів цілого числа d Q (d) (>)> буде квадратичним розширенням поля Q>.
- Круговий поле Q (ζ n) (\ zeta _)> виходить додаванням в Q> примітивного кореня n-го ступеня з одиниці. Поле має містити і всі його ступеня (тобто всі корені n-го ступеня з одиниці), його розмірність над Q> дорівнює функції Ейлера φ (n).
- Дійсні та комплексні числа мають нескінченну ступінь над раціональними, тому вони не є числовими полями. Це випливає з з незліченною: будь-числове поле є рахунковим.
Кільце цілих числового поля
Оскільки числове поле є алгебраїчним розширенням поля Q>. будь-який його елемент є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами (тобто є алгебраїчним). Більш того, кожен елемент є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, так як можна помножити всі раціональні коефіцієнти на твір знаменників. Якщо ж даний елемент є коренем деякого наведеного многочлена з цілими коефіцієнтами, він називається цілим елементом (або алгебраїчним цілим числом). Не всі елементи числового поля цілі: наприклад, легко показати що єдині цілі елементи Q> - це звичайні цілі числа.
Можна довести, що сума і твір двох алгебраїчних цілих чисел - знову алгебраїчне ціле число, тому цілі елементи утворюють подкольцо числового поля K. зване кільцем цілих поля K і позначається O K> _>. Поле не містить дільників нуля і це властивість успадковується при переході до подкольца, тому кільце цілих цілісно; поле приватних кільця O K> _> - це саме поле K. Кільце цілих будь-якого числового поля оладает наступними трьома властивостями: воно целозамкнуто. нетеровим і одновимірно. Комутативне кільце з такими властивостями називається дедекіндових в честь Ріхарда Дедекинда.
Розклад на прості і група класів
У довільному дедекіндових кільці існує і єдино розкладання ненульових ідеалів в твір простих. Однак не будь-яке кільце цілих задовольняє властивості факторіальною. вже для кільця цілих квадратичного поля O Q (- 5) = Z [- 5]> _ (>)> = \ mathbb [>]> розкладання не єдиний:
Ввівши на цьому кільці норму, можна показати, що ці розкладання дійсно різні, тобто одне можна отримати з іншого множенням на оборотний елемент.
Ступінь порушення властивості факторіальною вимірюють за допомогою групи класів ідеалів. ця група для кільця цілих завжди кінцева і її порядок називають числом классов.
Базиси числового поля
цілий базис
Цілий базис числового поля F ступеня n - це безліч
з n елементів кільця цілих поля F. таке що будь-який елемент кільця цілих OF поля F можна єдиним способом записати як Z -Лінійний комбінацію елементів B; тобто для будь-якого x з OF існує і єдино розкладання
де mi - звичайні цілі числа. У цьому випадку будь-який елемент F можна записати як
де mi - раціональні числа. Після це цілі елементи F виділяються тим властивістю, що це в точності ті елементи, для яких все mi цілі.
Використовуючи такі іструменти як локалізація і ендоморфізм Фробениуса. можна побудувати такий базис для будь-якого числового поля. Його побудова є вбудованою функцією в багатьох системах комп'ютерної алгебри.
статечної базис
Нехай F - числове поле ступеня n. Серед усіх можливих базисів F (як Q -векторного простору), існують поважні базиси, тобто базиси виду
для деякого x ∈ F. Згідно з теоремою про примітивне елементі. такий x завжди існує, його називають примітивним елементом даного розширення.
Алгебраїчне числове поле є конечномірні векторних простором над Q> (позначимо його розмірність за n), і множення на довільний елемент поля є лінійним перетворенням цього простору. Нехай e 1. e 2. ... e n, e _, \ ldots e_> - який-небудь базис F. тоді перетворенню x ↦ α x відповідає матриця A = (a i j))>. обумовлена умовою
Елементи цієї матриці залежать від вибору базису, однак від нього не залежать всі інваріанти матриці, такі як визначник і слід. В контексті алгебраїчних розширень, визначник матриці множення на елемент називається нормою цього елемента (позначається N (x)); слід матриці - слідом елемента (позначається Tr (x)> (x)>).
Норма є мультиплікативної і однорідної функцією:
В якості вихідного базису можна вибрати цілий базис [⇨]. множенню на ціле число алгебри (тобто на елемент кільця цілих [⇨]) в цьому базисі буде відповідати матриця з цілими елементами. Отже, слід і норма будь-якого елементу кільця цілих є цілими числами.
Приклад використання норми
Отже, N (a + b d) = a 2 - d b 2>) = a ^ -db ^>. На елементах кільця Z [d] [>]> ця норма бере цілі значення. Норма є гомоморфизмом мультипликативной групи Z [d] [>]> на мультипликативную групу Z>. тому норма оборотних елементів кільця може бути дорівнює лише 1 або - 1. Для того, щоб вирішити рівняння Пелля a 2 - d b 2 = 1 -db ^ = 1>. досить знайти всі оборотні елементи кільця цілих (також звані одиницями кільця) й виділити серед них мають норму 1. Згідно з теоремою Діріхле про одиниці. всі оборотні елементи даного кільця є ступенями одного елемента (з точністю до множення на - 1), тому для знаходження всіх рішень рівняння Пелля досить знайти одне фундаментальне рішення.