Алгебраїчні дроби, контент-платформа
Тема 7 «Алгебраїчні дроби»
Мета розділу - виробити в учнів стійкі навички дій з алгебраїчними дробами.
Ви познайомитеся з алгебраїчними дробами, у яких чисельник і знаменник - цілі літерні вирази, навчитеся складати, віднімати, множити і ділити алгебраїчні дроби.
1.Визначення алгебраїчної дробу.
У сьомому і восьмому класах розглядалися цілі літерні вирази. Такими виразами є многочлени від однієї або декількох змінних. Наприклад,,,,,.
Іноді цілі літерні вирази називають цілими алгебраїчними виразами.
Нагадаємо, що при підстановці в ціле алгебраїчне вираз замість букв деяких чисел виходить числове вираження. Значення цього числового виразу називають значенням цілого алгебраїчного виразу при заданому наборі змінних. Наприклад, цілий вираз при і має значення, рівне.
Цілі літерні вирази зручні для запису деяких формул, функцій і для інших цілей.
2.Значеніе алгебраїчної дробу.
Для цілих многочленів були визначені додавання, віднімання і множення. Вивчаючи многочлени від однієї змінної, ми встановили, що розділити без залишку один многочлен на інший і отримати приватне у вигляді многочлена вдається не завжди. Щоб для буквених виразів можна було розглянути розподіл, визначають алгебраїчні дроби.
Відношення двох цілих алгебраїчних виразів називається алгебраїчної дробом.
Ось кілька прикладів алгебраїчних дробів:
У алгебраїчної дробу, як і у числових дробів, є чисельник і знаменник.
Чисельником алгебраїчної дробу називають вираз, що стоїть над дробової рисою.
Знаменником алгебраїчної дробу називають вираз, що стоїть під дробовою рискою. Для стислості алгебраїчну дріб називають дробом, коли з тексту ясно, про які дроби йдеться.
3.Область визначення дробу.
Підставляючи в алгебраїчну дріб замість букв конкретні числа, ми будемо отримувати числові вирази. При деяких значеннях змінних значення знаменника може виявитися рівним нулю. Але так як на нуль ділити не можна, то для таких значень змінних обчислити значення алгебраїчної дробу не вдається. Будемо говорити, що алгебраїчна дріб не визначена при наборах значень змінних, для яких значення знаменника дробу дорівнює нулю.
Приклад 1. Дріб має знаменник, який звертається в нуль при. Тому дана дріб не визначена при.
Приклад 2. Дріб має знаменник, який тотожно дорівнює нулю. Тому дана дріб не визначена ні при якому значенні.
Приклад 3. Дріб має знаменник, який звертається в нуль при. Тому дана дріб не визначена, якщо брати рівні значення змінних і.
4. Так як алгебраїчна дріб при деяких значеннях змінних може бути не визначена, то це треба враховувати при діях з дробами, розглядаючи тільки такі значення змінних, для яких дроби визначені і здійсненні все арифметичні операції.
Безліч значень змінних, при яких дана алгебраїчна дріб визначена, називають областю визначення даної дробу.
Область визначення для алгебраїчної дробу з декількома змінними задавати складно. Тому ми будемо розглядати області визначення тільки для алгебраїчних дробів з однієї змінної, наприклад, зі змінною. В цьому випадку дріб має вигляд, де і - многочлени.
Ставлячи алгебраїчну дріб, іноді вказують і її область визначення.
Приклад 4. Дріб розглядається при всіх дійсних, відмінних від 2. У цьому прикладі область визначення дробу складається з усіх дійсних чисел, що не рівних 2, і може бути записана у вигляді об'єднання двох проміжків:
Приклад 5. Якщо нас цікавлять значення дробу для позитивних, то область визначення цієї дробу можна вважати рівною інтервалу.
Приклад 6. Дріб розглядається при всіх натуральних. В даному прикладі область визначення дробу - це безліч всіх натуральних чисел.
Часто область визначення алгебраїчної дробу не вказується. У цьому випадку будемо припускати, що область визначення дробу - безліч всіх дійсних чисел, при яких значення даної дробу визначені.
Приклад 7. Записуючи дріб, ми будемо припускати, що вона визначена при дійсних.
Приклад 8. Записуючи дріб, ми будемо припускати, що вона визначена при дійсних.
5. ** Залежність області визначення дробу від числового безлічі.
Область визначення алгебраїчної дробу залежить від числового безлічі, в якому розглядаються значення змінної.
Приклад 9. Дріб всюди визначена, якщо розглядаються тільки натуральні значення переменной. І ця ж дріб не всюди визначена, якщо розглядати цілі значення, так як при дріб не визначена.
Приклад 10. Дріб всюди визначена, якщо розглядати тільки цілі значення змінної. І ця ж дріб не всюди визначена, якщо розглядати раціональні значення, так як при дріб не визначена.
Приклад 11. Дріб всюди визначена, якщо розглядати тільки раціональні значення змінної. І ця ж дріб не всюди визначена, якщо розглядати дійсні значення, так як при і при дріб не визначена.
Ще раз звернемо увагу, що коли область визначення дробу не вказана, то ми її розглядаємо на множині всіх дійсних чисел, при яких значення даної дробу визначені.
6.Основное властивість алгебраїчної дробу
Розглянемо числову дріб. Значення цього дробу не зміниться, якщо ми помножимо чисельник і знаменник на одне і те ж не рівне нулю число. наприклад,
Аналогічне властивість виконано і для алгебраїчних дробів. Воно називається основною властивістю алгебраїчної дробу.
Значення алгебраїчної дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той же множник, значення якого відмінно від нуля.
Приклад 12. Розглянемо дріб, яка визначена при, і множник, який відмінний від нуля при і при. За основним властивості алгебри дробу при будь-якому, що не збігається ні з одним з чисел - 2, 1, -1, виконується рівність
Іноді основне властивість алгебраїчної дробу формулюють по-іншому:
алгебраїчна дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той же множник, що не звертається в нуль в області визначення даної алгебраїчної дробу.
При цьому мається на увазі, що значення дробу і дроби розглядаються на загальній частині їх областей визначення.
Приклад 13. Рівність має місце при тих значеннях, при яких визначені як дріб, так і дріб. Дріб визначена при, відмінному від -2 і 2. Дріб визначена при, відмінному від -2, 2 і -1. Отже, зазначена рівність дробів виконується при, відмінних від -2, 2 і -1.
7.Сокращеніе алгебраїчної дробу.
Розглянемо дроби і. За основним властивості дробів ці дроби рівні на загальній частині їх областей визначення, тобто
Перепишемо рівність у вигляді
Права частина цієї рівності виходить з лівої частини скороченням чисельника і знаменника на один і той же множник. Будемо говорити, що дріб виходить з дробу скороченням чисельника і знаменника на загальний множник.
При скороченні чисельника і знаменника на загальний множник часто виходить дріб з меншими ступенями чисельника і знаменника.
У цьому прикладі ми скоротили дріб на числовий множіПоетому області визначення дробів і однакові, і рівність виконується при будь-якому.
У цьому прикладі ми скоротили дріб на множник. Однак, ліва дріб не визначена ні при якому значенні. Тому записане рівність не виконується ні при одному значенні.
Це рівність виконується тільки при таких значеннях і, при яких визначені як перша, так і остання дробу, тобто і.
8. ** Тотожне рівність дробів на деякій множині. Властивості рефлексивності, симетричності, транзитивності.
Використання знака рівності при діях з алгебраїчними дробом має більш складний зміст, ніж при діях із многочленами. Щоб в цьому розібратися, визначимо тотожна рівність двох алгебраїчних дробів від змінної на деякій множині чисел.
Алгебраїчні дроби і тотожно рівні на множині, якщо при кожному значення і визначені та є рівними.
Тотожне рівність дробів і записують за допомогою знака, замість якого іноді використовують звичайний знак рівності, коли з тексту ясно, що мова йде про тотожній рівності алгебраїчних дробів на деякій множині.
Тотожне рівність алгебраїчних дробів від змінної має такими основними властивостями.
Властивість 1. Нехай дріб визначена на множині. Тоді на множині.
Властивість 2. Нехай на множині. Тоді на множині.
Властивість 3. Нехай на безлічі і і на безлічі. Тоді на перетині множин і. При, маємо рівність.
Приклад 17. При, маємо рівність. Тому на підставі властивості 3 при,, маємо рівність
1. Що таке ціле алгебраїчне вираз?
2. Що таке алгебраїчна дріб?
3. Дайте визначення чисельника і знаменника алгебраїчної дробу.
4. При яких значеннях змінних алгебраїчна дріб не визначена?
5. Яким умовам повинна задовольняти область визначення алгебраїчної дробу?
6. Як знаходити область визначення алгебраїчної дробу в тому випадку, коли ця область не вказано?
7. Сформулюйте основну властивість алгебраїчної дробу.
8. Що називають скороченням алгебраїчної дробу?
9. Що потрібно зробити, щоб скоротити алгебраїчну дріб, якщо це можливо?
Завдання і вправи
1. При яких значеннях змінної визначено алгебраїчна дріб:
а) б); в); ;
г) д); е); ж); ?
2. Скоротіть алгебраїчну дріб:
а) б); в); г); ;
д) е); ж); .
3. Вкажіть, при яких значеннях змінних вихідна дріб дорівнює тій дробу, яка виходить після скорочення.
Скоротіть алгебраїчну дріб:
а) б); в); ;
г) д); е); ж); .
4. Скоротіть алгебраїчну дріб:
а) б); в); ;
г) д); е); .
Відповіді та вказівки до вирішення найбільш важких завдань.
в) Якщо, то розглянута дріб не має сенсу, тому. Скоротивши чисельник і знаменник на і привівши подібні члени отримаємо вираз. Якщо ввести нову змінну, то в результаті отримаємо алгебраїчну дріб виду. Корінням рівняння є числа і, тому. Так що скоротити можна тільки на числовий множник.
г) при всіх і таких, що і.
д)
при всіх і таких, що і.
е) при всіх таких і, що і.