Знайдіть об'єм многогранника вершинами якого
У правильній призмі в основі лежить правильний багатокутник. Отже в основі правильної трикутної призми лежить рівносторонній трикутник, а в підставі правильної шестикутної призми лежить правильний шестикутник.
При вирішенні завдань використовується формула обсягу піраміди, рекомендую подивитися інформацію в цій статті. Так само буде корисно подивитися статтю з паралелепіпедами, принцип вирішення завдань схожий.
Ще раз подивіться формули, які необхідно знати.
245340. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки А, В, С, А 1 правильної трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1. площа підстави якої дорівнює 2, а бічне ребро дорівнює 3.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Отримали піраміду з підставою АВС і вершиною А 1. Площа її підстави дорівнює площі підстави призми (підстава загальне). Висота також загальна. Обсяг піраміди дорівнює:
245341. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки А, В, С, А1. З 1. правильної трикутної призми АВСА1 В1 С1. площа підстави якої дорівнює 3, а бічне ребро дорівнює 2.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Це піраміда з підставою АА 1 З 1 З і висотою дорівнює відстані між ребром АС і вершиною В. Але в даному випадку обчислювати площу цього підстави і зазначену висоту занадто довгий шлях до результату. Простіше поступити наступним чином:
Щоб отримати обсяг зазначеного багатогранника необхідно з обсягу даної призми АВСА 1 В 1 С 1 відняти обсяг піраміди ВА 1 В 1 С 1. Запишемо:
245342. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки А1. В 1. В, С, правильної трикутної призми АВСА1 В1 С1. площа підстави якої дорівнює 4, а бічне ребро дорівнює 3.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Щоб отримати обсяг зазначеного багатогранника необхідно з обсягу призми АВСА 1 В 1 С 1 відняти обсяги двох тіл - піраміди ABCА 1 і піраміди CА 1 В 1 С 1. Запишемо:
245343. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки A, B, C, D, E, F, A1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1. площа підстави якої дорівнює 4, а бічне ребро дорівнює 3.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Це піраміда має загальну підставу з призмою і висотою рівною висоті призми. Обсяг піраміди буде дорівнює:
245344. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки A, B, C, A1. B1. C1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1. площа підстави якої дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює 3.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Отриманий багатогранник є прямою призмою. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи і висоти.
Висота вихідної призми і отриманої загальна, вона дорівнює трьом (це довжина бічного ребра). Залишається визначити площу підстави, тобто трикутника АВС.
245345. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки A, В, D, E, A1. B1. D1. E1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1. площа підстави якої дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює 2.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Отриманий багатогранник є прямою призмою.
Висота вихідної призми і отриманої загальна, вона дорівнює двом (це довжина бічного ребра). Залишається визначити площу підстави, тобто чотирикутника АВDЕ.
245346. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки A, B, C, D, A1. B1. З 1. D1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1. площа підстави якої дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює 2.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Отриманий багатогранник є прямою призмою.
Висота вихідної призми і отриманої загальна, вона дорівнює двом (це довжина бічного ребра). Залишається визначити площу підстави, тобто чотирикутника АВCD. Відрізок AD з'єднує діаметрально протилежні точки правильного шестикутника, а це означає, що він розбиває його на дві рівні трапеції. Отже площа чотирикутника АВCD (трапеції) дорівнює трьом.
245347. Знайдіть об'єм многогранника, вершинами якого є точки A, B, C, B1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1. площа підстави якої дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює 3.
Побудуємо вказаний багатогранник на ескізі:
Отриманий багатогранник є пірамідою з повним правом АВС і висотою ВВ1.
* Висота вихідної призми і отриманої загальна, вона дорівнює трьом (це довжина бічного ребра).
Залишається визначити площу основи піраміди, тобто трикутника АВC. Вона дорівнює одній шостій площі правильного шестикутника, що є підставою призми. Рахуємо:
245357. Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, все ребра якої рівні кореню з трьох.
Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави призми і її висоти.
Висота прямої призми дорівнює її бічного ребра, тобто вона вже нам дана - це корінь з трьох. Обчислимо площу правильного шестикутника що лежить в основі. Його площа дорівнює шести площах рівних один одному правильних трикутників, при чому сторона такого трикутника дорівнює ребру шестикутника:
* Використовували формулу площі трикутника - площа трикутника дорівнює половині твори сусідніх сторін на синус кута між ними.
Обчислюємо обсяг призми:
Що можна відзначити особливо? Уважно будуйте багатогранник, що не подумки, а саме на листочку прорисуйте його. Тоді ймовірність помилки через неуважність буде виключена. Запам'ятайте властивості правильного шестикутника. Ну і формули обсягу, які використовували важливо пам'ятати.
Вирішіть два завдання на обсяг самостійно:
27084. Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, сторони підстави якої рівні 1, а бічні ребра рівні √3.
27108. Знайдіть об'єм призми, в підставах якої лежать правильні шестикутники зі сторонами 2, а бічні ребра рівні 2√3 і нахилені до площини основи під кутом 30 0.
На цьому все. Успіхів!
З повагою, Олександр Крутицький.