Знаходження інтервалів зростання і спадання функції
У такій задачі, подібно точкам максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або убуває. Для початку визначимо, що таке зростання і спадання:
- Функція f (x) називається зростаючою на відрізку [a; b] якщо для будь-яких двох точок x1 і x2 з цього відрізка вірне твердження: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2). Іншими словами, чим більше значення аргументу, тим більше значення функції.
- Функція f (x) називається спадною на відрізку [a; b] якщо для будь-яких двох точок x1 і x2 з цього відрізка вірне твердження: x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2). Тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Сформулюємо достатні умови зростання та спадання:
- Для того щоб безперервна функція f (x) зростала на відрізку [a; b], досить, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто f '(x) ≥ 0.
- Для того щоб безперервна функція f (x) спадала на відрізку [a; b], досить, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто f '(x) ≤ 0.
Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання і зменшення, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:
- Прибрати всю зайву інформацію. На початковому графіку похідною нас цікавлять в першу чергу нулі функції, тому залишимо тільки їх.
- Відзначити знаки похідної на інтервалах між нулями. Там, де f '(x) ≥ 0, функція зростає, а де f' (x) ≤ 0 - убуває. Якщо в задачі встановлені обмеження на змінну x, додатково відзначаємо їх на новому графіку.
- Тепер, коли ми знаємо поведінку функції і обмеження, залишається обчислити необхідну в завданні величину.
- Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [-3; 7,5]. Знайдіть проміжки спадання функції f (x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять в ці проміжки.
Рішення. Як завжди, перекреслити графік і відзначимо кордону [-3; 7,5], а також нулі похідної x = -1,5 і x = 5,3. Потім відзначимо знаки похідної. маємо:
Оскільки на інтервалі (- 1,5) похідна негативна, це і є інтервал спадання функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, які знаходяться всередині цього інтервалу:
-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
- Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f (x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.
Рішення. Позбудемося зайвої інформації. Залишимо тільки кордону [10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x = -8, x = -6, x = -3 і x = 2. Відзначимо знаки похідної і отримаємо таку картинку:
Нас цікавлять проміжки зростання функції, тобто такі, де f '(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (-8; -6) і (-3; 2). Обчислимо їх довжини:
l1 = - 6 - (-8) = 2;
l2 = 2 - (-3) = 5.
Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого з інтервалів, у відповідь записуємо значення l2 = 5.