Застосування лінійної алгебри в економіці

Рішення: По заданої кінцевої продукції Y розрахуємо валову продукцію Х. Використовуємо відоме співвідношення Х = (Е-А) -1Y, де матриця А задана в умови, вектор Y також дан, Е одинична матриця.

Готуємо таблицю вихідних даних в електронній таблиці Excel.

Далі створюємо одиничну матрицю і обчислюємо Е-А.

Тепер обчислюємо вектор валової продукції Х = (Е-А) -1 Y = B * Y. Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ: аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B36: I43. в поле «масиву 2» - К2: К9. Далі обводимо осередку В47: В54 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.

Отже, знайшли валову продукцію по галузях.

2. У таблиці задані валові продукти галузей.

Розрахувати кінцеві продукти галузей.

Рішення: Розрахуємо кінцеві продукти галузей за формулою Y = (E-A) X. Всі матриці вже підраховані, залишилося підставити тільки формулу: (Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ): Аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B23: I30, в поле «масиву 2» - В57: В64. Далі обводимо осередку В70: В77 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.

Отримуємо вектор кінцевої продукції по галузях.

Задача2. Дан вектор

Y = кінцевого продукту і матриця,

A = міжгалузевого балансу.

Знайти вектор валового випуску Х.

Матриця A має невід'ємні елементи і відповідає критерію продуктивності (при будь-якому j сума елементів стовпця # 63; aij # 63; 1.

1. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено, з огляду на непрямі витрати до 2-го порядку включно.

Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку дорівнює:

Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2-го порядку дорівнює:

2. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць.

Коефіцієнт повних витрат (bij) показує, скільки продукції i-й галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-й галузі.

Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції.

Знаходимо матрицю (E-A):

Обчислюємо зворотну матрицю (E-A) -1. Запишемо матрицю у вигляді:

Визначник відмінний від нуля, отже, матриця є невироджених і для неї можна знайти зворотну матрицю A -1.

Знайдемо алгебраїчні доповнення.

Знайдемо величини валової продукції двох галузей

Для визначення елементів першого квадранта матеріального міжгалузевого балансу скористаємося формулою

Складові третього квадранта (умовно-чиста продукція) знаходяться як різниця між обсягами валової продукції і сумами елементів відповідних стовпців знайденого першого квадранта.

Міжгалузевий баланс складається з чотирьох квадрантів (табл.). Перший квадрант відбиває міжгалузеві потоки продукції. Другий характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу.

Третій представляє національний дохід як вартість умовно-чистої продукції (Zj), що дорівнює сумі амортизації (cj), оплати праці (vj) і чистого доходу j -й галузі (mj). Четвертий квадрант показує кінцевий розподіл і використання національного доходу.

Задача3. Розробка міжпродуктового балансу виробництва та розподілу продукції підприємства.

У трьох цехах приладобудівного заводу виготовляються датчики, прилади та їх вузли, основна частина яких йде на внутрішнє споживання, решта є кінцевим продуктом і поставляється зовнішнім приладобудівним і машинобудівним організаціям, а також в ремонтні майстерні.

Потрібно скласти міжпродуктового баланс виробництва і розподілу продукції, якщо відомі коефіцієнти прямих витрат і кінцевий продукт.

Вихідні дані наведені в таблиці:

Споживають цеху (коефіцієнти прямих витрат)

Рішення: Знаходимо вектор валової продукції за відомою матриці прямих витрат А і вектору кінцевої продукції Y за формулою: X = (E-A) -1 Y.

Вносимо дані в таблицю, створюємо одиничну матрицю і обчислюємо Е-А:

Обчислюємо вектор валової продукції X = (E-A) -1 Y = B * Y. Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ: аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B20: D22, в поле «масиву 2» - F3: F5. Далі обводимо осередку В27: В29 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.

Отже, знайшли валову продукцію по галузях. Тепер можна обчислювати числові значення розподілу продукції всередині підприємства і заповнювати таблицю міжпродуктового балансу. Використовуємо основну формулу:

0,15 * 401,292 = 60,194 0,10 * 622,756 = 62,276 0,30 * 596,077 = 178,823

0,25 * 401,292 = 100,323 0,15 * 622,756 = 93,413 0,25 * 596,077 = 149,019

0,30 * 401,292 = 120,388 0,25 * 622,756 = 155,689 0 * 596,077 = 0,00

Отримуємо шукану таблицю:

Припустимо, що розглядається n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на всередині виробниче споживання даною галуззю і іншими галузями, а інша частина призначена для цілей кінцевого (поза сферою матеріального виробництва) особистого та суспільного споживання.

Так як валовий обсяг продукції будь-якої i-й галузі дорівнює сумарному обсягу продукції, споживаної n галузями і кінцевого продукту, то:

Ці рівняння (їх n штук) називаються співвідношеннями балансу. Будемо розглядати вартісний міжгалузевий баланс, коли всі величини, що входять в ці рівняння, мають вартісне вираження.

Введемо коефіцієнти прямих витрат:

показують витрати продукції i-й галузі на виробництво одиниці вартості j-й галузі.

За формулою знаходимо коефіцієнти прямих витрат:

Коефіцієнт прямих витрат (aij) показує, скільки продукції i-й галузі необхідно, враховуючи тільки прямі витрати, для виробництва одиниці продукції j-й галузі.

Якщо ввести в розгляд матрицю коефіцієнтів прямих витрат A = (aij), вектор-стовпець валової продукції X = (Xi) і вектор-стовпець кінцевої продукції Y = (Yi), то математична модель міжгалузевого балансу набуде вигляду:

Ідея збалансованості лежить в основі будь-якого раціонального функціонування господарства. Суть її в тому, що всі витрати повинні компенсуватися доходами господарства. В основі створення балансових моделей лежить балансовий метод - взаємне зіставлення наявних ресурсів і потреб в них.

Міжгалузевий баланс відображає виробництво і розподіл валового національного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення і розподіл національного доходу.

Нехай економіка країни має n галузей матеріального виробництва. Кожна галузь випускає деякий продукт, частина якого споживається іншими галузями (проміжний продукт), а інша частина - йде на кінцеве споживання і накопичення (кінцевий продукт).

Позначимо через Xi (i = 1..n) валовий продукт i -й галузі; xij - вартість продукту, виробленого в i -й галузі і спожитого в j -й галузі для виготовлення продукції вартістю Xj; Yi - кінцевий продукт i -й галузі.

Критерії продуктивності матриці А. Існує кілька критеріїв продуктивності матриці А:

1. Матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпців не перевищує одиниці, причому хоча б для одного з стовпців сума елементів строго менше одиниці.

2. Для того щоб забезпечити позитивний кінцевий випуск по всіх галузях необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з перерахованих нижче умов:

- Визначник матриці (E - A) не дорівнює нулю, тобто матриця (E- A) має зворотну матрицю (E - A) -1.

- Найбільше по модулю власне значення матриці А, тобто рішення рівняння | Лe - A | = 0 суворо менше одиниці.

- Все головні мінори матриці (E - A) порядку від 1 до n, позитивні.

Матриця A має невід'ємні елементи і відповідає критерію продуктивності (при будь-якому j сума елементів стовпця # 63; aij # 63; 1).

1. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено, з огляду на непрямі витрати до 2-го порядку включно.

Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку дорівнює:

Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2-го порядку дорівнює:

Матриця коефіцієнтів повних витрат приблизно дорівнює:

2. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць.

Коефіцієнт повних витрат (bij) показує, скільки продукції i-й галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-й галузі.

Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції.

Знаходимо матрицю (E-A):

Обчислюємо зворотну матрицю (E-A) -1. Запишемо матрицю у вигляді:

Визначник відмінний від нуля, отже матриця є невироджених і для неї можна знайти зворотну матрицю A -1.

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Схожі статті