Застосування лінійної алгебри в економіці
Рішення: По заданої кінцевої продукції Y розрахуємо валову продукцію Х. Використовуємо відоме співвідношення Х = (Е-А) -1Y, де матриця А задана в умови, вектор Y також дан, Е одинична матриця.
Готуємо таблицю вихідних даних в електронній таблиці Excel.
Далі створюємо одиничну матрицю і обчислюємо Е-А.
Тепер обчислюємо вектор валової продукції Х = (Е-А) -1 Y = B * Y. Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ: аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B36: I43. в поле «масиву 2» - К2: К9. Далі обводимо осередку В47: В54 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.
Отже, знайшли валову продукцію по галузях.
2. У таблиці задані валові продукти галузей.
Розрахувати кінцеві продукти галузей.
Рішення: Розрахуємо кінцеві продукти галузей за формулою Y = (E-A) X. Всі матриці вже підраховані, залишилося підставити тільки формулу: (Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ): Аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B23: I30, в поле «масиву 2» - В57: В64. Далі обводимо осередку В70: В77 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.
Отримуємо вектор кінцевої продукції по галузях.
Задача2. Дан вектор
Y = кінцевого продукту і матриця,
A = міжгалузевого балансу.
Знайти вектор валового випуску Х.
Матриця A має невід'ємні елементи і відповідає критерію продуктивності (при будь-якому j сума елементів стовпця # 63; aij # 63; 1.
1. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено, з огляду на непрямі витрати до 2-го порядку включно.
Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку дорівнює:
Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2-го порядку дорівнює:
2. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць.
Коефіцієнт повних витрат (bij) показує, скільки продукції i-й галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-й галузі.
Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції.
Знаходимо матрицю (E-A):
Обчислюємо зворотну матрицю (E-A) -1. Запишемо матрицю у вигляді:
Визначник відмінний від нуля, отже, матриця є невироджених і для неї можна знайти зворотну матрицю A -1.
Знайдемо алгебраїчні доповнення.
Знайдемо величини валової продукції двох галузей
Для визначення елементів першого квадранта матеріального міжгалузевого балансу скористаємося формулою
Складові третього квадранта (умовно-чиста продукція) знаходяться як різниця між обсягами валової продукції і сумами елементів відповідних стовпців знайденого першого квадранта.
Міжгалузевий баланс складається з чотирьох квадрантів (табл.). Перший квадрант відбиває міжгалузеві потоки продукції. Другий характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу.
Третій представляє національний дохід як вартість умовно-чистої продукції (Zj), що дорівнює сумі амортизації (cj), оплати праці (vj) і чистого доходу j -й галузі (mj). Четвертий квадрант показує кінцевий розподіл і використання національного доходу.
Задача3. Розробка міжпродуктового балансу виробництва та розподілу продукції підприємства.
У трьох цехах приладобудівного заводу виготовляються датчики, прилади та їх вузли, основна частина яких йде на внутрішнє споживання, решта є кінцевим продуктом і поставляється зовнішнім приладобудівним і машинобудівним організаціям, а також в ремонтні майстерні.
Потрібно скласти міжпродуктового баланс виробництва і розподілу продукції, якщо відомі коефіцієнти прямих витрат і кінцевий продукт.
Вихідні дані наведені в таблиці:
Споживають цеху (коефіцієнти прямих витрат)
Рішення: Знаходимо вектор валової продукції за відомою матриці прямих витрат А і вектору кінцевої продукції Y за формулою: X = (E-A) -1 Y.
Вносимо дані в таблицю, створюємо одиничну матрицю і обчислюємо Е-А:
Обчислюємо вектор валової продукції X = (E-A) -1 Y = B * Y. Використовуємо вбудовану функцію МУМНОЖ: аргументи: в поле «массіва1» даємо посилання B20: D22, в поле «масиву 2» - F3: F5. Далі обводимо осередку В27: В29 і натискаємо F2 і Ctrl + Shift + Enter.
Отже, знайшли валову продукцію по галузях. Тепер можна обчислювати числові значення розподілу продукції всередині підприємства і заповнювати таблицю міжпродуктового балансу. Використовуємо основну формулу:
0,15 * 401,292 = 60,194 0,10 * 622,756 = 62,276 0,30 * 596,077 = 178,823
0,25 * 401,292 = 100,323 0,15 * 622,756 = 93,413 0,25 * 596,077 = 149,019
0,30 * 401,292 = 120,388 0,25 * 622,756 = 155,689 0 * 596,077 = 0,00
Отримуємо шукану таблицю:
Припустимо, що розглядається n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на всередині виробниче споживання даною галуззю і іншими галузями, а інша частина призначена для цілей кінцевого (поза сферою матеріального виробництва) особистого та суспільного споживання.
Так як валовий обсяг продукції будь-якої i-й галузі дорівнює сумарному обсягу продукції, споживаної n галузями і кінцевого продукту, то:
Ці рівняння (їх n штук) називаються співвідношеннями балансу. Будемо розглядати вартісний міжгалузевий баланс, коли всі величини, що входять в ці рівняння, мають вартісне вираження.
Введемо коефіцієнти прямих витрат:
показують витрати продукції i-й галузі на виробництво одиниці вартості j-й галузі.
За формулою знаходимо коефіцієнти прямих витрат:
Коефіцієнт прямих витрат (aij) показує, скільки продукції i-й галузі необхідно, враховуючи тільки прямі витрати, для виробництва одиниці продукції j-й галузі.
Якщо ввести в розгляд матрицю коефіцієнтів прямих витрат A = (aij), вектор-стовпець валової продукції X = (Xi) і вектор-стовпець кінцевої продукції Y = (Yi), то математична модель міжгалузевого балансу набуде вигляду:
Ідея збалансованості лежить в основі будь-якого раціонального функціонування господарства. Суть її в тому, що всі витрати повинні компенсуватися доходами господарства. В основі створення балансових моделей лежить балансовий метод - взаємне зіставлення наявних ресурсів і потреб в них.
Міжгалузевий баланс відображає виробництво і розподіл валового національного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення і розподіл національного доходу.
Нехай економіка країни має n галузей матеріального виробництва. Кожна галузь випускає деякий продукт, частина якого споживається іншими галузями (проміжний продукт), а інша частина - йде на кінцеве споживання і накопичення (кінцевий продукт).
Позначимо через Xi (i = 1..n) валовий продукт i -й галузі; xij - вартість продукту, виробленого в i -й галузі і спожитого в j -й галузі для виготовлення продукції вартістю Xj; Yi - кінцевий продукт i -й галузі.
Критерії продуктивності матриці А. Існує кілька критеріїв продуктивності матриці А:
1. Матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпців не перевищує одиниці, причому хоча б для одного з стовпців сума елементів строго менше одиниці.
2. Для того щоб забезпечити позитивний кінцевий випуск по всіх галузях необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з перерахованих нижче умов:
- Визначник матриці (E - A) не дорівнює нулю, тобто матриця (E- A) має зворотну матрицю (E - A) -1.
- Найбільше по модулю власне значення матриці А, тобто рішення рівняння | Лe - A | = 0 суворо менше одиниці.
- Все головні мінори матриці (E - A) порядку від 1 до n, позитивні.
Матриця A має невід'ємні елементи і відповідає критерію продуктивності (при будь-якому j сума елементів стовпця # 63; aij # 63; 1).
1. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено, з огляду на непрямі витрати до 2-го порядку включно.
Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку дорівнює:
Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2-го порядку дорівнює:
Матриця коефіцієнтів повних витрат приблизно дорівнює:
2. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць.
Коефіцієнт повних витрат (bij) показує, скільки продукції i-й галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-й галузі.
Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції.
Знаходимо матрицю (E-A):
Обчислюємо зворотну матрицю (E-A) -1. Запишемо матрицю у вигляді:
Визначник відмінний від нуля, отже матриця є невироджених і для неї можна знайти зворотну матрицю A -1.
Знайдемо алгебраїчні доповнення: