З історії виникнення квадратних рівнянь, контент-платформа
З історії виникнення квадратних рівнянь
Алгебра виникла в зв'язку з рішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або кілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчаються загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні.
Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.
У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одна з його завдань.
Завдання 2. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96».
Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, т. Е . 10 + х. Інша ж менше, т. Е. 10 - х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння:
Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.
Якщо вирішити це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то можна прийти до вирішення рівняння:
Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння.
Квадратні рівняння в Індії
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:
У рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
В Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто вдягалися в віршовану форму.
Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.
«Мавпочок жвавих зграя
Відповідне завдання 3 рівняння:
Бхаськара пише під виглядом:
і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 322, отримуючи потім:
x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,
Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі
1) «Квадрати рівні коріння», т. Е. Ах2 = b х.
2) «Квадрати рівні числу», т. Е. Ах2 = с.
3) «Коріння рівні числу», т. Е. Ах = с.
4) «Квадрати і числа рівні коріння», т. Е. Ах2 + с = b х.
5) «Квадрати і коріння рівні числу», т. Е. Ах2 + b х = с.
6) «Коріння і числа рівні квадратах», т. Е. Bх + з == ах2.
Завдання 4. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).
Рішення: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, Додай 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.
Трактат Аль-Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення. [3,75]
Квадратні рівняння в ЕвропеXII-XVII ст.
Ця книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з цієї книги переходили майже в усі європейські підручники XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду x2 + b х = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі в 1544 р М. Штіфель.
Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI в. враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд. [5,12].
Витоки алгебраїчних методів вирішення практичних завдань пов'язані з наукою стародавнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, що вирішуються єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарів-обчислювачами (XX-VI ст. До н. Е.), Мала розрахунковий характер. Однак уже тоді час від часу виникали завдання, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли вирішувати задачі, що зводяться з точки зору сучасної класифікації до рівнянь другого ступеня. Був створений метод вирішення текстових завдань, що послужив надалі основою для виділення алгебраїчного компонента і його незалежного вивчення.
Це вивчення здійснювалося вже в іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI-Х ст. Н. Е.), Виділяючи характерні дії, за допомогою яких рівняння приводилися до стандартного вигляду приведення подібних членів, перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу зі зміною знака. А потім європейськими математиками Відродження, в результаті тривалого пошуку створили мову сучасної алгебри, використання букв, введення символів арифметичних операцій, дужок і т. Д. На рубежі XVI-XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що володіє своїм предметом, методом, областями додатки, була вже сформована. Подальше її розвиток, аж до нашого часу, полягало в удосконаленні методів, розширенні області додатків, уточнення понять і зв'язків їх з поняттями інших розділів математики.
Отже, з огляду на важливість і обсягом матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики пов'язано з трьома головними областями свого виникнення і функціонування.
Для того щоб вирішити будь-квадратне рівняння, треба знати:
· Формулу знаходження дискримінанту;
· Формулу знаходження коренів квадратного рівняння;
· Алгоритми розв'язання рівнянь даного виду.
· Вирішувати неповні квадратні рівняння;
· Вирішувати повні квадратні рівняння;
· Вирішувати наведені квадратні рівняння;
· Знаходити помилки в рішеннях рівняннях і виправляти їх;
Рішення кожного рівняння складається з двох основних частин:
· Перетворення даного рівняння до найпростіших;
· Рішення рівнянь за відомими правилами, формулами або алгоритмам.
Узагальнення способів діяльності учнів під час вирішення квадратних рівнянь відбувається поступово. Можна виділити наступні етапи при вивченні теми «Квадратні рівняння»:
I етап - «Рішення неповних квадратних рівнянь».
II етап - «Рішення повних квадратних рівнянь».
III етап - «Рішення наведених квадратних рівнянь».
На першому етапі розглядаються неповні квадратні рівняння. Так як спочатку математики навчилися вирішувати неповні квадратні рівняння, оскільки для цього не довелося, як то кажуть, нічого винаходити. Це рівняння виду: ах2 = 0, ах2 + с = 0, де з ≠ 0, ах2 + b х = 0, де b ≠ 0. Розглянемо рішення кілька таких рівнянь:
1. Якщо ах2 = 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:
Наприклад, 5х2 = 0. Розділивши обидві частини рівняння на 5 виходить: х2 = 0, звідки х = 0.
2. Якщо ах2 + с = 0, з ≠ 0 Рівняння даного виду вирішуються за алгоритмом:
1) перенести доданки в праву частину;
2) знайти всі числа, квадрати яких рівні числу с.
Наприклад, х2 - 5 = 0, Це рівняння рівносильне рівнянню х2 = 5. Отже, треба знайти всі числа, квадрати яких рівні числу 5. Таких чисел тільки два і -. Таким чином, рівняння х2 - 5 = 0 має два корені: x1 =. x2 = - і інших коренів не має.
3. Якщо ах2 + b х = 0, b ≠ 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:
1) перенести загальний множник за дужки;
Наприклад, х2 - 3х = 0. Перепишемо рівняння х2 - 3х = 0 у вигляді х (х - 3) = 0. Це рівняння має, очевидно, коріння x1 = 0, x2 = 3. Інших коренів воно не має, бо якщо в нього підставити замість х будь-яке число, відмінне від нуля і 3, то в лівій частині рівняння х (х - 3) = 0 вийде число, не рівне нулю.
Отже, дані приклади показують, як вирішуються неповні квадратні рівняння:
1) якщо рівняння має вигляд ах2 = 0, то воно має один корінь х = 0;
2) якщо рівняння має вигляд ах2 + b х = 0, то використовується метод розкладання на множники: х (ах + b) = 0; значить, або х = 0, або ах + b = 0. У результаті виходить два кореня: x1 = 0; x2 = -;
3) якщо рівняння має вигляд ах2 + с = 0, то його перетворять до виду ах2 = - с і далі х2. = - У випадку, коли - <0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда -> 0, т. Е. - = m, де m> 0, рівняння х2 = m має два кореня
=, = -, (в цьому випадку допускається більш короткий запис =.
Таким чином, неповне квадратне рівняння може мати два кореня, один корінь, жодного кореня.
На другому етапі здійснюється перехід до вирішення повного квадратного рівняння. Це рівняння виду ах2 + bx + c = 0, де a, b, c - задані числа, а ≠ 0, х - невідоме.
Будь-яке повне квадратне рівняння можна перетворити до вигляду. для того, щоб визначати число коренів квадратного рівняння і знаходити ці коріння. Рассмотриваются наступні випадки рішення повних квадратних рівнянь: D <0, D = 0, D> 0.
1. Якщо D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Наприклад, 2х2 + 4х + 7 = 0. Рішення: тут а = 2, b = 4, с = 7.
D = b2 - 4ас = 42 - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 = - 40.
Так як D <0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. Якщо D = 0, то квадратне рівняння ах2 + bx + c = 0 має один корінь, який знаходиться за формулою.
Наприклад, 4х - 20х + 25 = 0. Рішення: а = 4, b = - 20, з = 25.
D = b2 - 4ас = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 = 0.
Так як D = 0, то дане рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою. значить,
3. Якщо D> 0, то квадратне рівняння ах2 + bx + c = 0 має два корені, які знаходяться за формулами:; (1)
Наприклад, 3х2 + 8х - 11 = 0. Рішення: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 - 4ас = 82 - 4 * 3 * (- 11) = 64 + 132 = 196.
Так як D> 0, то дане квадратне рівняння має два кореня. Ці корені знаходяться за формулами:
Складається алгоритм вирішення рівняння виду ах2 + bx + c = 0.
1. Обчислити дискримінант D за формулою D = b2 - 4ас.
2. Якщо D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. Якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь, який знаходиться за формулою
4. Якщо D> 0, то квадратне рівняння ах2 + bx + c = 0 має два корені:; .
Це алгоритм універсальний, він застосуємо як до неповним, так і до повних квадратних рівнянь. Однак неповні квадратні рівняння зазвичай за цим алгоритмом не вирішують.
Математики - люди практичні, економні, тому користуються формулою:. (2)
Отже, можна зробити висновок, що квадратні рівняння можна вирішувати докладно, використовуючи сформульоване вище правило; можна - записати одразу формулу (2) і з її допомогою робити необхідні висновки. [1,98].
На третьому етапі розглядаються наведені квадратні рівняння, які мають вигляд х2 + px + q = 0 (3), де p і q - дані числа. Число p - коефіцієнт при х, а q - вільний член. Дискримінант рівняння дорівнює: D = p2 - 4q. Розглядають 3 випадки:
1. D> 0, тоді рівняння (3) має два корені, які обчислюють за формулою. (4)
2. D = 0, тоді рівняння (3) має єдиний корінь, або, як горять, два співпадаючих кореня:
3. D <0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:
Звідси слідує що:
1) якщо то рівняння (3) має два корені;
2) якщо то рівняння має два співпадаючих кореня;
3) якщо то рівняння не має коренів.
Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка стверджує наявність залежності між корінням і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння.
Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Інакше кажучи, якщо x1 і x2 - корені рівняння х2 + px + q = 0, то
Дані формули називають формулами Вієта в честь французького математика Ф. Вієта (), який ввів систему алгебраїчних символів, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним з перших, хто числа став позначати буквами, що істотно розвинуло теорію рівнянь.
Наприклад, наведене рівняння х2 - 7х +10 = 0 має корені 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Видно, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Справедлива також теорема, зворотна теоремі Вієта.
Теорема, зворотна теоремі Вієта. Якщо для чисел x1, x2, p, q справедливі формули (5), то x1 і x2 - корені рівняння х2 + px + q = 0 [2,49].
Теорема Вієта і теорема, зворотна їй, часто застосовуються при вирішенні різних завдань.
Наприклад. Напишемо наведене квадратне рівняння, коренями якого є числа 1 і -3.
За формулами Вієта
Отже, шукане рівняння має вигляд х2 + 2х - 3 = 0.
Складність освоєння теореми Вієта пов'язана з декількома обставинами. Перш за все, потрібно враховувати відмінність прямої і зворотної теореми. У прямій теоремі Вієта дані квадратне рівняння і його корені; в зворотному - тільки два числа, а квадратне рівняння з'являється в ув'язненні теореми. Учні часто роблять помилку, обґрунтовуючи свої міркування невірної посиланням на пряму або зворотну теорему Вієта.
Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбором посилатися потрібно на зворотну теорему Вієта, а не на пряму, як часто роблять учні. Для того щоб поширити теореми Вієта на випадок нульового дискримінанту, доводиться домовитися, що в цьому випадку квадратне рівняння має два рівних кореня. Зручність такого угоди проявляється при розкладанні квадратного тричлена на множники.