Визначники, властивості визначників
Визначники, властивості визначників.
Визначником другого порядку називається число дорівнює добутку елементів що стоять на головній діагоналі мінус твір елементів що стоять на побічної діагоналі.
1) Визначник, отриманий з даного шляхом заміни рядків на відповідні стовпці називається транспоновану. Транспонований визначник дорівнює даному.
2) Визначник, який має дві однакові рядки (стовпці) дорівнює нулю.
3) Постійний множник рядка або стовпця можна виносити за знак визначника.
4) Визначник, який має 2 пропорційні рядки або стовпці дорівнює 0.
5) Визначник, який має рядок (стовпець) складається з нулів дорівнює 0.
6) Якщо у визначнику поміняти місцями 2 сусідні рядки (стовпці), то це рівносильно множенню визначника на -1.
7) Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якої рядки (стовпці) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножене на деяке число.
8) Сума добутків елементів будь-якої рядки або стовпці на алгебраїчні доповнення іншого рядка або стовпця дорівнює 0.
Визначення матриці, елементи матриці, розмірності матриці.
Матрицею розміру або порядку m.n називається прямокутна таблиця чисел, що має m рядків і n стовпців.
називається елементом матриці, що знаходяться на перетині тої рядки і -ого стовпця;
Матриця має розмірність mxn, де m - кількість рядків, n - кількість стовпців.
Визначення квадратної, діагональної, трикутної, трапецієподібної матриці.
Матриця називається квадратної, якщо m = n.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, які стоять поза головною діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.
Квадратна матриця, у якої всі елементи вище або нижче головної діагоналі рівні 0, називається трикутною.
Якщо в прямокутної матриці елементи, які стоять нижче головної діагоналі, дорівнюють 0, то матриця називається трапецієподібної.
Визначення транспонованою матриці.
Матриця називається транспортованої, якщо рядки поміняти на відповідні стовпці.
Визначення одиничної, нульовий матриці.
Якщо в діагональної матриці всі елементи, які стоять на головній діагоналі рівні 1, то матриця називається одиничною.
Матриця, що складається з 0, називається нульовою матрицею.
Які матриці можна перемножувати?
Матриці можна множити, якщо вони узгоджені. Матриці А і В вважаються узгодженими, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Як помножити матрицю на матрицю?
Розглянемо множення матриць на прикладі:
Що називається мінор елемента визначника?
Мінором будь-якого елементу визначника називається визначник, отриманий з даного шляхом викреслювання того рядка і того стовпця, на перетині яких знаходиться цей елемент.
Що називається мінор к-ого порядку матриці?
Мінором k-ого порядку матриці називається визначник, отриманий шляхом викреслювання k рядки і k стовпчика.
Що називається алгебраїчним доповненням елемента визначника?
Алгебраїчним доповненням будь-якого елементу називається мінор цього елемента, взятий зі знаком +, якщо сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться цей елемент число парне і зі знаком -, якщо непарне.
Визначення вироджених, невироджених матриці?
Квадратна матриця називається вироджених, якщо визначник цієї матриці дорівнює 0.
Квадратна матриця називається невироджених, якщо визначник цієї матриці не дорівнює 0.
Визначення оберненої матриці.
Матриця A - 1 називається оберненою до квадратної матриці A n -го порядку, якщо
де E - одинична матриця n -ого порядку.
Визначення системи m рівнянь з n невідомими.
Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими в лінійної алгебри - це система рівнянь виду
Тут - кількість рівнянь, а - кількість невідомих.
Дослідження рішень системи лінійних рівнянь.
1) # 916; ≠ 0 система має єдине рішення
2) # 916; = 0, а хоча б один з допоміжних ≠ 0, то рішень немає
3) # 916; = # 916; 1 = # 916; 2 = # 916; 3 = 0 незліченна безліч рішень
Визначення рангу матриці.
Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінного від нуля мінору матриці.
Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих (тобто приведення матриці до трикутного або трапецієподібні увазі).
Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих, і безліч рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
Дана система лінійних рівнянь:
Визначники, властивості визначників.
Визначником другого порядку називається число дорівнює добутку елементів що стоять на головній діагоналі мінус твір елементів що стоять на побічної діагоналі.
1) Визначник, отриманий з даного шляхом заміни рядків на відповідні стовпці називається транспоновану. Транспонований визначник дорівнює даному.
2) Визначник, який має дві однакові рядки (стовпці) дорівнює нулю.
3) Постійний множник рядка або стовпця можна виносити за знак визначника.
4) Визначник, який має 2 пропорційні рядки або стовпці дорівнює 0.
5) Визначник, який має рядок (стовпець) складається з нулів дорівнює 0.
6) Якщо у визначнику поміняти місцями 2 сусідні рядки (стовпці), то це рівносильно множенню визначника на -1.
7) Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якої рядки (стовпці) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножене на деяке число.
8) Сума добутків елементів будь-якої рядки або стовпці на алгебраїчні доповнення іншого рядка або стовпця дорівнює 0.