Стійкість нелінійних систем автоматичного управління - студопедія
Для дослідження стійкості нелінійних САУ застосовується метод функцій Ляпунова, який дозволяє також будувати кількісні оцінки динаміки перехідних процесів. Для вирішення завдань абсолютної стійкості НСАУ широке застосування отримав частотний метод В.М. Попова.
1.5.1. Метод функцій Ляпунова. Розглядається математична модель НСАУ у вигляді рівнянь обуреного руху, представлена у формі простору станів:
де - вектор стану, - вектор виходу, - вектор управління,. - безперервні функції в області.
При припущенні, що відомо управління. отримуємо рівняння обуреного руху нелінійної замкнутої САУ
Незбурених руху системи відповідає нульове рішення.
Якщо невозмущенное рух асимптотично стійко, то навколо початку координат існує область тяжіння траєкторії володіє тим властивістю, що всі траєкторії з початковими значеннями з області тяжіння асимптотично притягуються до незбуреного руху, тобто при. Якщо область тяжіння досить мала, то є стійкість в малому. Якщо область тяжіння має кінцеві розміри (величина постійної задовольняє заданим вимогам), то є стійкість у великому. Якщо область тяжіння збігається з усім простором. то є стійкість в цілому. Метод функцій Ляпунова дозволяє не тільки встановлювати наявність будь-якого типу стійкості незбуреного руху, а й будувати оцінки області тяжіння.
Для дослідження стійкості нелінійних систем найбільшого поширення набула наступна модифікація теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість.
Теорема про асимптотичну стійкість. Невозмущенное рух системи (1.29) асимптотично стійко, якщо існує функція Ляпунова. задовольняє нерівностям
похідна від якої в силу рівнянь обуреного руху
де - безперервні неубутних функції, такі, що і при. . якщо.
Тут - похідна від функції Ляпунова в силу рівнянь обуреного руху (1.29).
При зазначених в теоремі вимогах функція Ляпунова виразно позитивна і допускає нескінченно малий вища межа, а її похідна виразно негативна.
Найбільший інтерес при дослідженні нелінійних САУ представляє випадок експоненційної стійкості, коли рішення рівняння (1.29) задовольняють в області наступної оцінці
Теорема Н.Н.Красовского про експоненційної устойчівості.Невозмущенное рух системи (1.29) експоненціально стійко в області. якщо існує функція Ляпунова, яка задовольняє таким оцінками:
Наявність у нелінійної системи властивості експоненційної стійкості гарантує експонентний характер перехідних процесів, що надзвичайно важливо для САУ.
Особливе місце в різних типах стійкості САУ займає абсолютна стійкість.
Розглянемо рівняння обуреного руху САУ, які приведені до наступного вигляду
де. . . постійна матриця, - постійний стовпець, - постійні рядки, - постійна. Однозначна безперервна функція задовольняє умовам
тобто належить сектору (рис. 1.30).
Абсолютна стійкість - асимптотична стійкість в цілому нульового рішення системи (1.33),. . містить нелінійності типу (1.34) (належать сектору).
Рішення завдання абсолютної стійкості може бути зроблено за допомогою функції Ляпунова спеціального виду "квадратична форма плюс інтеграл", запропонованої А.І. Лур'є і В.К. Постникова
де - позитивно певна квадратична форма.
Обчислюється похідна від функції Ляпунова
яку можна представити у вигляді
Якщо квадратична форма (1.36) визначено негативна, то невозмущенное рух. асимптотично стійко.
Приклад 1.3. Розглянемо систему
Достатні умови абсолютної стійкості мають вигляд
1.5.2. Абсолютна стійкість. Частотний критерій В.М.Попова.
Розглядається нелінійна САУ, структурна
схема якої представлена на ріс.1.31, де передавальна функція лінійної частини
стаціонарна нелінійність задовольняє умовам
Випадок 1. Лінійна частина САУ стійка, тобто характеристичне рівняння
має тільки коріння з негативними речовими частинами:
Критерій Попова.Замкнутая система абсолютно стійка в класі стаціонарних безперервних нелинейностей, які відповідають умовам (1.37), якщо для деякого матеріального і для всіх. виконано нерівність
Уявімо комплексний вектор у вигляді
де. . Тоді нерівність (1.39) набуде вигляду
Практична цінність критерію Попова складається в його простої геометричної інтерпретації. Для цього введемо перетворену частотну характеристику. у якій речова частина збігається з дійсною частиною. а уявна частина відрізняється на множник "":
Тоді нерівність (1.40) набуде вигляду
Відзначимо деякі особливості характеристики.
1º - парна функція "" і крива НЕ буде симетричною щодо дійсної осі при зміні в межах. При криві і мають спільну точку на позитивній дійсної півосі.
2 ° Якщо n-m 2, то при.
якщо n-m = 1, то при,
де і - вищі ступені поліномів в передавальної функції.
3 ° Характеристика перетинає речову вісь в тих же точках і при тих же значеннях частоти. що і характеристика.
В результаті заміни нерівності (1.42) рівністю
отримаємо в координатах. рівняння дотичної до характеристики. Пряма проходить через точку на дійсній осі і має кутовий коефіцієнт. Крива лежить праворуч від цієї прямої.
Таким чином, геометричне умова абсолютної стійкості можна сформулювати наступним чином:
Стан рівноваги замкнутої системи з одного стаціонарного нелинейностью, що задовольняє умовам (1.37), абсолютно стійко, якщо на площині перетвореної частотної характеристики через точку можна провести пряму так, щоб характеристика цілком лежала праворуч від цієї прямої (ріс.1.32) з кутом нахилу.
Область, яка визначає вибір параметра. залежить від властивостей нелінійного елемента:
- для безперервної однозначної стаціонарної характеристики;
- для безперервної нестаціонарної і неоднозначною характеристики;
- для релейних характеристик типу "ідеальне реле" і "реле з зоною нечутливості".
Зауваження. Т ак як перетворена частотна характеристика повинна перетинати речову вісь правіше точки. то і вихідна частотна характеристика має також перетинати речову вісь правіше цієї точки.
На ріс.1.33 показані випадки, коли умова Попова виконується при (a), (б), умова не може бути виконано ні при яких значеннях (в).
Окремий випадок. Для нелінійної САУ, що містить одне ідеальне реле (ріс.1.34), де,
Умова абсолютної стійкості при стійкій лінійної частини запишеться у вигляді нерівності
при і. тобто характеристика повинна лежати правіше прямий, проведеної через початок координат з позитивним нахилом.
Випадок 2. Лінійна частина САУ може бути нейтральна або нестійка, тобто характеристичне рівняння (1.38) може мати коріння з нульовими або позитивними речовими частинами.
Зробимо еквівалентну перетворення вихідної нелінійної САУ (ріс.1.31), в результаті якого отримаємо зміненою схемою (ріс.1.35). Схеми ріс.1.31, 1.35 еквівалентні по виходу. оскільки на вхід надходить один і той же сигнал
Вибирається таке мінімальне значення. при якому перетворена лінійна частина стійка, тобто для
всі корені характеристичного рівняння
мають негативні речові частини.
Для перетвореного нелінійного елемента
Вимагатимемо, щоб відповідно до критерію Попова нелінійність задовольняла нерівності
Тоді нелінійність повинна ставитися до класу нелинейностей, що лежать в секторі:
Застосовуючи до перетвореної схемою ріс.1.35 критерій Попова, отримаємо нерівність
в якому в порівнянні з (1.39) функція замінена на.
Окремий випадок. Розглянемо випадок, коли лінійна частина нелінійної САУ є астатической першого порядку, тобто рівняння (1.38) має один дійсний нульовий корінь і ліві інші корені. Щоб все коріння характеристичного рівняння (1.46) були з негативними речовими частинами, досить взяти значення параметра як завгодно малим. При цьому нелінійність повинна задовольняти умовам
де - мала позитивна величина.
Таким чином, практично можна користуватися умовою Попова і в цьому випадку, тільки при нелінійних. які можуть не стосуватися осі абсцис.
Приклад 1.4. Нехай лінійна частина САУ має передавальну функцію
Амплітудно-фазова характеристика зображена на ріс.1.36.
Перетворена частотна характеристика
Характеристика відрізняється від лише зміною масштабу ординат в раз. Так як . то при будь-якому таку зміну завжди через початок координат можна провести пряму так, щоб ця характеристика лежала праворуч від неї. Це означає, що замкнута нелінійна система буде абсолютно стійка при будь нелінійності. для якої коефіцієнт. тобто розташованої в квадрантах 1 і 3.
Приклад 1.5. Лінійна частина САУ має передавальну функцію
Використовуючи критерій Попова, знайти розміри сектора, якому повинна належати стаціонарна безперервна нелінійність, при якій замкнута САУ абсолютно стійка.
В даному випадку лінійна частина САУ нейтральна, рівняння має один нульовий корінь і два речових негативних.
Будується перетворена передавальна функція
де може бути як завгодно малим;
Будується перетворена характеристика (ріс.1.37), яка при перетинає речову вісь в точці.
Звідси випливає, що для абсолютної стійкості замкнутої САУ нелінійність повинна задовольняти нерівності
Див. Літературу: [2, с. 43-71; 3, с. 512-537; 10, с. 34-40].
Питання для самоперевірки:
1. Що таке стійкість "в малому", "у великому", "в цілому"?
2. Наведіть теорему про асимптотичну стійкість.
3. Наведіть теорему про експоненційної стійкості.
4. Дайте визначення абсолютної стійкості.
5. Наведіть частотний критерій абсолютної стійкості Попова. Дайте геометричну інтерпретацію.
6. Яким умовам повинна задовольняти нелінійність в разі, коли лінійна частина системи нейтральна або нестійка?
7. Як можна порівняти критерій Найквіста з критерієм Попова?