Системи числення - студопедія
У позиційній системі числення число може бути представлено у вигляді суми добутків коефіцієнтів на ступеня підстави системи числення:
(Знак «точка» відділяє цілу частину числа від дробової; знак «зірочка» тут і нижче використовується для позначення операції множення). Таким чином, значення кожного знака в числі залежить від позиції, яку займає знак в запису числа. Саме тому такі системи числення називають позиційними. Приклади (десятковий індекс внизу вказує підставу системи числення):
23,43 (10) = 2 * 10 1 + З * 10 ° + 4 * 10 -1 + З * 10 -2
(В даному прикладі знак «З» в одному випадку означає число одиниць, а в іншому - число сотих часток одиниці);
692 (10) = 6 * 10 2 + 9 * 10 1 +2.
( «Шістсот дев'яносто дві» з формальної точки зору представляється у вигляді «шість помножити на десять в ступені два, плюс дев'ять помножити на десять в ступені один, плюс два»).
1101 (2) = 1 * 2 3 +1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 °;
A1F4 (16) = A * 16 2 + 1 * 16 1 + F * 16 ° + 4 * 16 -1.
При роботі з комп'ютерами доводиться паралельно використовувати декілька позиційних систем числення (найчастіше двійкову, десяткову і шестнадцатиричную), тому велике практичне значення мають процедури переведення чисел з однієї системи числення в другую.Заметім, що у всіх наведених вище прикладах результат є десятковим числом, і , таким чином, спосіб перекладу чисел з будь-якої позиційної системи числення в десяткову вже продемонстрований.
Щоб перевести цілу частину числа з десяткової системи в систему з основою В, необхідно розділити її на В. Залишок дасть молодший розряд числа. Отримане при цьому приватне необхідно знову розділити на В - залишок дасть наступний розряд числа і т.д. Для переведення дробової частини її необхідно помножити на В. Ціла частина отриманого твори буде першим (після коми, що відокремлює цілу частину від дробової) знаком. Дробову ж частина твору необхідно знову помножити на В. Ціла частина отриманого числа буде наступним знаком і т.д.
Відзначимо, що крім розглянутих вище позиційних систем числення існують такі, в яких значення знака не залежить від того місця, яке він займає в числі. Такі системи числення називається непозиційною. Найбільш відомим прикладом непозиційної системи є римська. У цій системі використовується 7 знаків (I, V, X, L, С, D, М), які відповідають наступним величинам:
1 (1) V (5) X (10) L (50) З (100) D (500) M (1000)
Приклади: III (три), LIX (п'ятдесят і дев'ять), DLV (п'ятсот п'ятдесят п'ять).
Недоліком непозиційних систем, через які вони представляють лише історичний інтерес, є відсутність формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій над ними (хоча за традицією римськими числами часто користуються при нумерації глав в книгах, століть в історії і ін.).