Силові лінії електричного поля
Потік вектора напруженості електричного поля
Принцип суперпозиції електричних полів дозволяє підрахувати електричне поле будь-якої системи зарядів. Але є ще один спосіб підрахунку напруженості електричного поля. Їм зручно користуватися завжди, коли заряди, що створюють поле, розподілені в просторі симетрично. Причому вид симетрії може бути будь-яким. Введемо деяку допоміжну фізичну величину, яка називається потік вектора напруженості електричного поля через поверхню. Позначимо цей потік буквою N. Найпростіше ввести потік вектора Е для випадку однорідного електричного поля. Нехай деяка плоска майданчик S знаходиться в однорідному електричному полі. назвемо
потоком вектора Е через майданчик (рис. 4)
тут a - кут між нормаллю n до нашої
майданчику і вектором Е. Оскільки проекція
вектора Е на напрямок нормалі може бути
записана як остання рівність може бути переписано у вигляді
У загальному випадку потік dN через площадку dS запишеться. а потік через S знаходиться, як
(6) Інтегрування у формулі (6) ведеться по всій цікавить нас поверхні S. Це саме загальне визначення потоку Е через поверхню S. Їм ми і будемо користуватися надалі.
Спробуємо тепер підрахувати потік вектора Е через сферичну поверхню радіуса r, в центрі якої знаходиться точковий заряд q (рис.5). Потік вектора Е через сферичну поверхню S можна записати
Останнім рівність вираз для
напруженості поля точкового заряду і врахуємо, що силові лінії поля точкового заряду перпендикулярні до сферичної поверхні, тобто спрямовані уздовж нормалі до неї і в силу цього одно модулю Е.
У подинтегрального вираженні все співмножники крім dS залишаються на поверхні сфери постійними і їх можна винести за знак інтеграла. Інтеграл ж по сферичної поверхні від її елемента дорівнює площі цієї поверхні. У підсумку, можна записати
Який би замкнутої поверхнею ми не оточували б цей заряд, потік через неї був би таким же. У випадку потрапляння в цій поверхні потрапили б і інші заряди, потік Е був би пропорційний алгебраїчній сумі цих зарядів. Все сказане можна сформулювати у вигляді теореми, яку прийнято називати теоремою Гаусса.
Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню пропорційний алгебраїчній сумі зарядів, оточених цією поверхнею.
(7) Як вже говорилося, ця теорема виявляється дуже зручною для підрахунку напруженостей полів, створених зарядами, розподіленими в просторі з тією або іншою симетрією. Ця теорема відображає одне з дуже важливих властивостей електричних полів і до неї нам доведеться надалі звертатися неоднократ-но. На закінчення слід сказати, що ми не доводили строго цю теорему. Доказ вимагає громіздких математичних викладок. Ми розглянули лише окремий приклад і на його основі узагальнили результат на загальну ситуацію. Однак це ні в якій мірі не применшує важливість отриманого результату.