Швидкість падаючого м'яча
Тепер ми готові до вивчення руху падаючого м'яча поблизу поверхні Землі. На падаючий м'яч діє тільки сила земного тяжіння, а вона, як ми бачили, змушує будь-яке тіло падати з однаковим, спрямованим вниз прискоренням. Але зазвичай нас цікавить не прискорення падаючого тіла, а його координати і швидкість.
Де виявиться тіло через з секунди і яка буде його швидкість? Збираючись з духом перед стрибком у воду з вишки, ви напевно хочете знати, чи довго вам летіти до води і з якою швидкістю ви ввійдете в неї.
Щоб відповісти на ці питання, спочатку подивимося, як пов'язані швидкість м'яча і час, протягом якого ви спостерігали за його падінням. Для цього треба знати початкову швидкість м'яча, тобто її величину і напрямок в той момент, коли ви почали за ним спостерігати. Якщо ви упустили м'яч, який перебував до цього в стані спокою, його початкова швидкість дорівнювала нулю.
Тоді швидкість м'яча в кожен даний момент можна визначити, використовуючи поняття початкової швидкості, прискорення і часу, що пройшов з того моменту, як ви почали за ним спостерігати. Оскільки при постійному прискоренні швидкість м'яча змінюється однаково за кожну секунду, його швидкість в даний момент часу відрізняється від початкової на твір прискорення і часу спостереження:
Початкова швидкість м'яча, який впав зі стану спокою, дорівнює нулю, прискорення його направлено вниз і так само 9,8 м / с 2. а час спостереження - це просто час, який минув з початку падіння м'яча (рис. 1.2.2). Через секунду м'яч має швидкість 9,8 м / с. Через 2 секунди ця швидкість дорівнює 19,8 м / с, через 3 секунди - 29,6 м / с і так далі. Так як м'яч падає строго по вертикалі, то перед значенням прискорення ми ставимо символ щоб позначити напрямок. Домовимося, що знак мінус на увазі рух вниз.
Мал. 1.2.2. М'яч спочивав у вас в руці і почав падати в той момент, як ви його відпустили. Під дією власної ваги він рухається з прискоренням, спрямованим вниз. Через 1 секунду він пролетить 4,9 м, а його спрямована вниз швидкість буде дорівнює 9,8 м / с. Через 2 секунди м'яч пролетить 19,6 м і матиме спрямований-ву вниз швидкість 19,6 м / с і так далі.
У міру того як м'яч падає з прискоренням, спрямованим вниз, його швидкість, також спрямована вниз, постійно збільшується. Негативні значення радіус-вектора і швидкості вказують на те, що м'яч рухається вниз внаслідок негативного (спрямованого вниз) прискорення.
Радіус-вектор (координати) падаючого м'яча. Швидкість м'яча у міру його падіння зростає, але як визначити, де саме він знаходиться в кожен момент часу? Щоб відповісти на це питання, треба знати початковий радіус-вектор (початкові координати) м'яча, тобто де він був, коли ви почали спостерігати за його падінням. Якщо ви упустили м'яч, який був в стані спокою, його початкове положення - у вас на долоні, і цю точку можна вважати початком відліку (радіус-вектор дорівнює 0).
Тоді радіус-вектор м'яча можна виразити через його початковий радіус-вектор, початкову швидкість, прискорення і час, що минув з моменту початку на-блюдения. Але через те, що вектор швидкості м'яча змінюється, не можна просто помножити його на час падіння і підрахувати, наскільки радіус-вектор в даний момент часу відрізняється від початкового. Необхідно застосувати поняття середньої швидкості за той проміжок часу, протягом якого ви спостерігаєте за м'ячем. З початку падіння до даного моменту часу швидкість м'яча змінювалася від початкового значення до поточного постійно і рівномірно, тому середня швидкість дорівнює тій, яку м'яч досяг на півдорозі між початковою і кінцевою швидкостями.
Радіус-вектор м'яча в даний момент часу відрізняється від початкового на добуток номінальної середньої вихідної швидкості і часу спостереження:
Якщо м'яч падає зі стану спокою, початкова швидкість дорівнює нулю, прискорення направлено вниз і так само 9,8 м / с 2. а час спостереження - це час, що минув з моменту початку падіння м'яча (рис. 1.2.2). За 1 секунду м'яч пролетить 4,9 м. За 2 секунди м'яч пролетить вниз 19,6 м. За з секунди - 44.1 м і так далі.
У рівняння 1.2.2 і 1.2.3 входять прискорення (як міра темпу зміни вектора швидкості) і вектор швидкості (як міра темпу зміни радіус-вектора). Прискорення падаючого м'яча постійно, обидва рівняння можуть бути виведені за допомогою елементарної алгебри. Але в більш складних випадках, коли прискорення змінюється з часом, для визначення координат і швидкості потрібно застосувати диференціальне числення. Диференціальне числення - це особливий розділ математики, і придумав його Ньютон спеціально для вирішення завдань такого роду.
До сих пір ми обговорювали падіння м'яча, але могли б взяти замість нього і інші предмети. Всім тілам - важким і легким, великим і маленьким - потрібно однаковий час на те, щоб долетіти до Землі з однієї і тієї ж висоти, за умови, що вони досить тверді і можуть подолати опір повітря. У безповітряному просторі це твердження істинне для будь-яких тіл; перо і свинцевий брусок, скинуті одночасно, впадуть одночасно.
Тепер, знаючи, що таке прискорення вільного падіння, ми можемо зрозуміти, по-чому м'яч, злетів з високою сходи, небезпечніше м'яч, що потрапив з низькою табуретки. Чим довший шлях проробляє м'яч, тим довше він буде летіти до землі і тим більше часу буде мати на рух з прискоренням. За час довгого падіння зі сходів м'яч розвине велику швидкість, спрямовану вниз, і його нелегко буде зупинити. Якщо ви спробуєте піймати його, вам доведеться докласти велику, спрямовану вгору силу, щоб надати м'ячу спрямоване вгору прискорення і змусити його різко зупинитися. Додаток такої великої сили до м'яча може заподіяти вам біль. Вплив опору повітря на процес падіння описано в примітці 2.
2. Коли тіло падає вниз, то спрямований-ва вгору сила опору повітря протидіє спрямованому вниз вазі тіла і зменшує його прискорення, також спрямоване вниз. Оскільки зі збільшенням швидкості зростає і опір повітря, тіло рано чи пізно припинить прискорюватися і буде падати рівномірно з кінцевою швидкістю. Якщо упустити з хмарочоса монетку в один пенс, то за відсутності опору повітря її швидкість досягла б 340 км / год, однак насправді монетка полетить вниз з кінцевою швидкістю менше 80 км / год, і ви цілком зможете її зловити. Однак бережіться, якщо падає кулькова ручка.
Все вищеописане стосується і вас, якщо падаючий об'єкт - ваше влас-ве тіло. Стрибнувши з високою сходи, ви через якийсь час досягнете статі. До моменту приземлення ви встигнете розвинути значну швидкість, спрямовану вниз. Пол повідомить вам прискорення, спрямоване вгору, справить на вас з великою силою досить неприємну дію, і ви зупинитеся. Можна згадати і більш цікаві (і в той же час менш травмонебезпечні) випадки тривалого падіння 3.
3. У 1782 році бристольский слюсар Вільям Уоттс запатентував спосіб лиття ідеально круглих і безшовних кульок мисливської дробу. Він запропонував проливати розплавлений свинець через решето, підвішене на великій висоті над ємністю з водою. Падаючи, краплі свинцю холоднішими в повітрі і, перш ніж торкнутися поверхні води, перетворювалися в бездоганно рівні кульки. Дроболітейние вежі скоро з'явилися по всій Європі, а потім і в Америці. В наші дні шкідливу для навколишнього середовища свинцеву дріб практично повністю витіснила сталева, яку виготовляють методом лиття в формі: розплавленого заліза потрібно більше часу, щоб охолонути і затвердіти, а значить, дроболітейние вежі довелося б будувати абсурдно високими.