Поле швидкостей і прискорень - студопедія
Кінематика рідини. Основні рівняння динаміки рідини. Динаміка ідеальної рідини. Теорема Бернуллі.
Змінні Лагранжа і Ейлера.
У кінематиці рідин і газів вивчається рух частинок в просторі в залежності від часу, без з'ясування причин викликають цей рух.
Існує два методи вивчення руху частинок. Один з них, званий методом Лагранжа, вивчає рух в просторі кожної індивідуальної частки. Іншими словами ми стежимо за рухом певних частинок М протягом часу t. протягом якого ці частинки проходять через всю розглянуту область.
Положенням кожної частинки буде визначитися її координатами, заданими в певний момент часу t = t0. В інший момент, координати частинки визначаються функціями:
Аргументи x0, y0, z0, t називаються переміщеними Лагранжа
Інший, званий методом Ейлера вивчаємо рух, походження в кожній точці простору в будь-який момент часу, а поведінкою окремих частинок не цікавиться.
Якщо в області рухомий рідини намітити ряд точок (1,2, ...), нерухомо скріплених простором, то через цю точку будуть проходити частки рідини М.
Для часу t1 частки рідини М матимуть швидкості u1 (t1); u2 (t2). Зіставляючи між собою картину швидкостей можна судити про рух рідини в часі.
У гідромеханіки дослідження ведуться як правило в змінних Ейлера, зважаючи на складність методу Лагранжа.
Рух суцільного середовища характеризується перш за все швидкостями її частинок. У кожен момент часу вони мають визначену за величиною і напрямком швидкість.
Якщо поле швидкостей і тисків залишається незмінним в часі, то рух називається сталим.
У разі усталеного руху тиск і швидкість можуть змінюватися при переміщенні частинки рідини з одного положення в інше, але в даній нерухомою щодо русла точці тиск і швидкість є функціями тільки координат.
У разі несталого течії тиску і швидкість залежать як від координат, так і від часу.
У практиці часто користуються поняттями середн. швидкостей. Зазвичай усереднення швидкості виробляється або за часом, або за площею деякого перерізу потоку.
Середнє значення величини швидкості за проміжок часу t0 є інтеграл:
Середня величина швидкості по деякій площі S визначаться як
Вектор прискорення рідкої частинки, що рухається зі швидкістю V є індивідуальною похідною за часом від вектора швидкості
Оскільки вектор швидкості в загальному випадку залежить від часу і координат
V = V (x, y, z.t), то за правилом диференціювання складної функції знайдений
Оскільки похідні від координат рухається точки за часом є відповідні проекції швидкостей, тобто
У проекціях на осі координат x, y, z це рівняння матиме вигляд:
Перший доданок першої частини рівності висловлюємо зміна швидкості в часі в деякій фіксованій точці простору, тобто місцеву зміну і тому називається локальної складової прискорення. Решта складові характеризують зміна швидкості частинки при її переміщенні і називаються конвективними складовими прискорення.
При усталеному русі локальне прискорення завжди дорівнює 0. при несталому воно може звертатися в 0 лише тоді, коли в даній точці швидкість має max або min значення в часі.
Конвективне прискорення може бути при сталому і несталому рухах. Воно звертається в 0 лише тоді, коли середня швидкість не залежить від координат.
Векторні лінії і траєкторії
Векторної лінією в поле векторів називається лінія, в кожній точці якої в даний момент часу вектор касателен до неї.
Сукупність векторних ліній, що проходять через всі точки деякого контуру, утворює векторну поверхню.
Якщо розглядати рух рідкої частинки в часі, то лінія, по якій рухалася частка в певний момент часу називається траєкторією.
Траєкторії часток рідини при сталому перебігу є незмінними в часі.
При несталому перебігу траєкторії різних частинок, що проходять через дану точку простору, можуть мати різну форму. Тому для розгляду картини перебігу, виникає в кожен момент часу, вводиться поняття лінії струму.
Лінією струму називається крива, в кожній точці якої вектор швидкості в даний момент часу спрямований по дотичній.
Для усталеного руху струму, збігається з траєкторією частинки і не змінює своєї форми з плином часу.
Якщо в рідині, що рухається взяти нескінченно малий замкнутий контур і через все його точки провести лінії струму, то утворюється трубчаста поверхня звана трубкою струму.
Частина потоку, що міститься усередині трубки струму, називається елементарною цівкою.
При прагненні поперечних перерізів розмірів цівки до 0 вона в межі стягується в лінію струму.
Живим перерізом або просто перетином потоку, називається в загально випадку поверхню в межах потоку, проведена нормально до ліній струму. Далі будемо розглядати в потоках такі ділянки, в яких струмки можна вважати паралельними, і отже, живі перетину плоскими.
Витратою називається кількість рідини. протікає через живий переріз потоку (цівки) в одиницю часу.
Для елементарної цівки, що має нескінченно малі майданчики перетинів, можна вважати справжню швидкість V однаковою у всіх точках кожного перетину, тоді елементарний витрата, що проходить через площадку dS виразиться так dS = VdS [м 3 / c]
Для потоку кінцевих розмірів в загальному випадку швидкість має різне значення в різних точках перетину, тому витрата треба визначати як суму елементарних витрат цівок.
Грунтуючись на законі збереження речовини, на припущення про сплошности (нерозривності) течії і на непроникності трубки струму можна стверджувати, що расходство всіх перетинах елементарної цівки однаковий.
Для потоку кінцевих розмірів, обмеженого непроникними стінками слід ввести середні швидкості
Основне рівняння гідродинаміки
З останнього рівняння випливає, що середні швидкості в потоці нестисливої рідини назад пропорційних площами живих перетинів
Тема 4 Основні рівняння динаміки рідини.
Закон збереження маси і рівняння нерозривності
Закон збереження маси для ізольованої системи виражається в тому, що маса m такої системи залишається постійною під час руху. Отже, повна похідна від маси за часом дорівнює 0.
Використовуючи закон збереження маси для елементарного об'єму отримаємо:
Після диференціювання матимемо
Другий доданок поділене на # 961; dW є величина відносного зміни обсягу dW, рівна
сума діагональних компонент Тендор швидкостей диференційний
Рівняння нерозривності, є виразом закону збереження маси.
Якщо рідина нестислива, тобто # 961; = const, то рівняння нерозривності набуде вигляду:
2, Закон збереження кількості руху (імпульсу). Диференціальні рівняння динаміки рідини в напружених.
Закон збереження імпульсу можна сформулювати так:
«Різниця векторної виробничої від кількостей руху рідкого обсягу і всіх зовнішніх сил, прикладених до нього, дорівнює нулю в усі час руху».
Для кінцевого об'єму рідини W з поверхні S закон збереження імпульсу можна записати
Шляхом математичних перетворень отримуємо закон збереження імпульсу в векторній формі:
Закон збереження імпульсу в проекціях на осі координат можна записати:
Тема 5. Динаміка ідеальної і в'язкої рідини.
З метою спрощення постановки задач при вивченні законів руху рідини створена модель ідеальної рідини.
Ідеальною рідиною називається уявна рідина, яка характеризується повною відсутністю в'язкості і абсолютної незмінюваність обсягу при зміні тиску.
Диференціальні рівняння руху ідеальної рідини можна отримати з диференціальних рівнянь спокою (дивись гідростатику), якщо згідно з принципом Даламбера ввести в ці рівняння силу інерції, віднесену до одиниці маси рідини, що рухається.
- I x. Iy. Iz, проекції сили інерції, що дорівнює добутку маси на прискорення, на осі координат Ix = # 961; dx dy dz dUx / dt
проекції прискорень на осі координат.
Сила інерції направлена в сторону протилежну прискоренню, тому вона входить зі знаком мінус.
Вводячи силу інерції в диференціальне рівняння рівноваги (рівняння Ейлера) отримаємо:
Рівняння руху Ейлера для ідеальної рідини.
1. Непроникність стінки.
2. безвідривно протягом уздовж стінки
«Повний прискорення частинки уздовж координатної осі складається з прискорення від масових сил і від прискорення сил тиску».
У векторній формі рівняння має вид
Переходячи від ідеальної рідини до реальної (в'язкої) рідини, в отримані рівняння вводяться додаткові складові, які враховують сили тертя, віднесені до одиниці маси рідини.
Така операція призводить нас до системи трьох рівнянь, які називаються рівняннями Нав'є - Стокса.
Останнє додаткове доданок враховує сили тертя. Вирази в дужках являють собою відповідні суми друге приватних похідних від U, V, W за координатами x, y, z.
Для отримання конкретних рішень при інтегруванні системи рівнянь повинні бути задані граничні умови:
1. Умова прилипання частинок до твердої стінки а) рівність 0 швидкості на нерухомій стінці або б) збіг швидкостей частинок рідини зі швидкостями точок рухається твердої поверхні.
2. У разі зовнішнього обтікання: завдання швидкості в зовнішньому потоці. У разі руху в трубі: завдання витрати.
3. Завдання тиску в будь-якій одній точці потоку
4. В векторному вигляді
5.. де символ ММ позначає вектор з проекціями VU, VV, VW.