Рівняння гармонійної хвилі, що біжить
Хвильові властивості пружних і електромагнітних хвиль
Лекція 1. Хвилі в пружних середовищах
У першій частині курсу були розглянуті найпростіші випадки механічних коливань. При цьому ми не цікавилися процесами, що відбуваються в середовищі, що оточує коливальну систему. Зараз ми звернемо на це увагу.
Пружні середовища. Поздовжні і поперечні хвилі
Будемо вважати, що маємо суцільну пружну середу, наприклад, тверде тіло, рідини, гази. Для пружного середовища характерно виникнення пружних деформацій при зовнішньому впливі на неї. Ці деформації повністю зникають після припинення зовнішніх впливів.
Якщо в будь-якому місці пружною середовища порушити коливання її часток, то внаслідок взаємодії між частинками ці коливання будуть поширюватися в середовищі з певною швидкістю v.
Процес поширення коливань в середовищі називається хвилею. Інакше, обурення, що поширюється в просторі (середовищі), називається хвилею.
Механічні обурення (деформації), що поширюються в пружному середовищі, називаються пружними або механічними хвилями.
Пружні хвилі бувають поздовжні іпоперечние. У поздовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, в поперечних - у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Поздовжні хвилі можуть порушуватися в твердих, рідких і газоподібних середовищах. Поперечні хвилі можуть виникати тільки в твердих тілах.
Відзначимо, що поширення пружних хвиль не пов'язане з перенесенням речовини. Ті, що біжать хвилі переносять енергію коливального руху в напрямку поширення хвилі.
Рівняння гармонійної хвилі, що біжить
Пружна хвиля називається гармонійної. якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними, тобто описуються за законом синуса або косинуса. Часто гармонійну хвилю називають синусоїдальної.
На рис.1 представлена гармонійна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю v уздовж осі x. тобто приведена залежність між зміщенням S частинок середовища і відстанню х цих частинок від джерела коливань Про для фіксованого моменту часу t.
Відстань між найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі l. Довжина хвилі дорівнює тому відстані, на яке пошириться гармонійна хвиля за час, що дорівнює періоду коливань Т. тобто
З огляду на, що частота v = 1 / T отримуємо
тобто довжина хвилі обернено пропорційна частоті.
Рівняння такої хвилі в загальному випадку має вигляд
Для характеристики хвиль використовується хвильове число
де w = 2p / T = 2pv - циклічна, (кругова) частота.
З урахуванням (4) отримаємо рівняння що біжить гармонійної хвилі
де А - амплітуда хвилі, - фаза хвилі, j0 - початкова фаза.
Грунтуючись на формулі Ейлера (), рівняння (5) можна записати в експоненційної (комплексної) формі
де фізичний зміст має лише дійсна частина виразу (6). Така форма подання хвилі істотно полегшує математичний дії.