Правило трьох сигм - студопедія

При розгляді нормального закону розподілу виділяється важливий окремий випадок, відомий як правило трьох сигм.

Запишемо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування менше заданої величини D:

Якщо прийняти D = 3s, то отримуємо з використанням таблиць значень функції Лапласа:

Тобто ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу ніж утроенное середнє квадратичне відхилення, практично дорівнює нулю.

Це правило називається правилом трьох сигм.

Чи не практиці вважається, що якщо для будь - якої випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальний розподіл.

Приклад. Поїзд складається з 100 вагонів. Маса кожного вагона - випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікування а = 65 т і середнім квадратичним відхиленням s = 0,9 т. Локомотив може везти складу масою більше 6600 т, в іншому випадку необхідно причіплювати другий локомотив. Знайти ймовірність того, що другий локомотив не буде потрібно.

Другий локомотив не буде потрібно, якщо відхилення маси складу від очікуваного (100 × 65 = 6500) не перевищує 6600 - 6500 = 100 т.

Оскільки маса кожного вагона має нормальний розподіл, то і маса всього складу теж буде розподілена нормально.

Приклад. Нормально розподілена випадкова величина Х задана своїми параметрами - а = 2 - математичне очікування і s = 1 - середнє відхилення. Потрібно написати щільність ймовірності і побудувати її графік, знайти ймовірність того, Х прийме значення з інтервалу (1; 3), знайти ймовірність того, що Х відхилиться (по модулю) від математичного очікування не більше ніж на 2.

Щільність розподілу має вигляд:

Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (1; 3).

Знайдемо ймовірність відхилення випадкової величини від математичного очікування на величину, не більшу ніж 2.

Той же результат може бути отриманий з використанням нормованої функції Лапласа.

Центральна гранична теорема Ляпунова

Теорема .Якщо випадкова величина Х являє собою суму дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то Х має розподіл, близьке до нормального.

На практиці для більшості випадкових величин виконуються умови теореми Ляпунова.

3 Система випадкових величин Розглянуті вище випадкові величини були одновимірними, тобто визначалися одним числом, проте, існують також випадкові величини, які визначаються двома, трьома і т.д. числами. Такі випадкові величини називаються двовимірними, тривимірними і т.д. Залежно від типу, що входять в систему випадкових величин, системи можуть бути дискретними, безперервними або змішаними, якщо в систему входять різні типи випадкових величин. 3.1 Система двох випадкових величин Більш докладно розглянемо системи двох випадкових величин. Визначення. Законом розподілу системи випадкових величин називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між областями можливих значень системи випадкових величин та ймовірності появи системи в цих областях. Визначення. Функцією розподілу системи двох випадкових величин називається функція двох аргументів F (x, y). рівна ймовірності спільного виконання двох нерівностей X

Щільність розподілу системи двох випадкових величин

Визначення. Щільністю спільного розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини (X, Y) називається друга мішана похідна від функції розподілу.

Якщо відома щільність розподілу, то функція розподілу може бути легко знайдена за формулою:

Двовимірна щільність розподілу неотрицательна і подвійний інтеграл з нескінченними межами від двовимірної щільності дорівнює одиниці.

За відомою щільності спільного розподілу можна знайти щільності розподілу кожної зі складових двовимірної випадкової величини.

Умовні закони розподілу

Як було показано вище, знаючи спільний закон розподілу можна легко знайти закони розподілу кожної випадкової величини, що входить в систему.

Однак, на практиці частіше варто зворотна задача - за відомими законами розподілу випадкових величин знайти їх спільний закон розподілу.

У загальному випадку ця задача є нерозв'язною, тому що закон розподілу випадкової величини нічого не говорить про зв'язок цієї величини з іншими випадковими величинами.

Крім того, якщо випадкові величини залежні між собою, то закон розподілу не може бути виражений через закони розподілу складових, тому що повинен встановлювати зв'язок між складовими.

Все це призводить до необхідності розгляду умовних законів розподілу.

Визначення. Розподіл однієї випадкової величини, що входить в систему, знайдене за умови, що інша випадкова величина прийняла певне значення, називається умовним законом розподілу.

Умовний закон розподілу можна задавати як функцією розподілу так і щільністю розподілу.

Умовна щільність розподілу обчислюється за формулами:

Умовна щільність розподілу має всі властивості щільності розподілу однієї випадкової величини.

Умовне математичне сподівання

Визначення. Умовним математичним очікуванням дискретної випадкової величини Y при X = x (х - певне можливе значення Х) називається твір всіх можливих значень Y на їх умовні ймовірності.

Для безперервних випадкових величин:

де f (y / x) - умовна щільність випадкової величини Y при X = x.

Умовне математичне сподівання M (Y / x) = f (x) є функцією від х і називається функцією регресії Х на Y.

Приклад. Знайти умовне математичне очікування складової Y при

X = x1 = 1 для дискретної двовимірної випадкової величини, заданої таблицею:

Аналогічно визначаються умовна дисперсія і умовні моменти системи випадкових величин

Залежні і незалежні випадкові величини

Випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того яке значення приймає інша випадкова величина.

Поняття залежності випадкових величин є дуже важливим в теорії ймовірностей.

Умовні розподілу незалежних випадкових величин рівні їх безумовним розподілом.

Визначимо необхідні і достатні умови незалежності випадкових величин.

Теорема .Для того, щоб випадкові величини Х і Y були незалежні, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) була дорівнює добутку функцій розподілу складових.

Аналогічну теорему можна сформулювати і для щільності розподілу:

Теорема .Для того, щоб випадкові величини Х і Y були незалежні, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) була дорівнює добутку щільності розподілу складових.

Визначення. Кореляційним моментом mxy випадкових величин Х і Y називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин.

Практично використовуються формули:

Для дискретних випадкових величин:

Для безперервних випадкових величин:

Кореляційний момент служить для того, щоб охарактеризувати зв'язок між випадковими величинами. Якщо випадкові величини незалежні, то їх кореляційний момент дорівнює нулю.

Кореляційний момент має розмірність, що дорівнює добутку розмірностей випадкових величин Х і Y. Цей факт є недоліком цієї числової характеристики, тому що при різних одиницях виміру виходять різні кореляційні моменти, що ускладнює порівняння кореляційних моментів різних випадкових величин.

Для того, щоб усунути цей недолік застосуються інша характеристика - коефіцієнт кореляції.

Визначення. Коефіцієнтом кореляції rxy випадкових величин Х і Y називається відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин.

Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною. Коефіцієнт кореляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю.

Властивість: Абсолютна величина кореляційного моменту двох випадкових величин Х і Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій.

Властивість: Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці.

Випадкові величини називаються корельованими. якщо їх кореляційний момент відмінний від нуля, і некоррелірованнимі. якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю.

Якщо випадкові величини незалежні, то вони і некорреліровани, але з некоррелированности можна зробити висновок про їх незалежності.

Якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими.

Часто по заданій щільності розподілу системи випадкових величин можна визначити залежність або незалежність цих величин.

Поряд з коефіцієнтом кореляції ступінь залежності випадкових величин можна охарактеризувати і іншою величиною, яка називається коефіцієнтом коваріації. Коефіцієнт коваріації визначається формулою:

Приклад. Задана щільність розподілу системи випадкових величин Х і Y.

З'ясувати чи є незалежними випадкові величини Х і Y.

Для вирішення цього завдання перетворимо щільність розподілу:

Схожі статті