Повний ранг - це

Нехай задана будь-яка матриця А з m рядків і n стовпців. Рангом системи рядків (стовпців) матриці А називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно-незалежними, якщо не одна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців і це число називається рангом матриці. Ранг матриці - найвищий з порядків мінорів цієї матриці. відмінних від нуля. Ранг матриці дорівнює найбільшому числу лінійно незалежних рядків (або стовпчиків) матриці.

Зазвичай ранг матриці A позначається () або. Обидва позначення прийшли до нас з іноземних мов, тому і вживатися можуть обидва. Останній варіант властивий для англійської мови, в той час як перший - для німецького, французького та ряду інших мов.

визначення

Нехай - прямокутна матриця.

Тоді за визначенням рангом матріциA є:

  • нуль, якщо A - нульова матриця;
  • число, де Mr - мінор матриці A порядку r. а Mr + 1 - окаймляющий до нього мінор порядку (r + 1). якщо вони існують.

Теорема (про коректність визначення рангів). Нехай все мінори матриці порядку k дорівнюють нулю (Mk = 0). Тоді, якщо вони існують.

пов'язані визначення

  • Ранг матриці M розміру називають повним. якщо.
  • Базисний мінор матриці A - будь-який мінор матриці A порядку r. де.
    • Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними рядками і стовпцями. (Вони визначені неоднозначно в силу неоднозначності базисного мінору.)

має ранг 2, так як є мінор другого порядку, відмінний від нуля, а миноров третього порядку немає.

  • Теорема (про базисному мінорі): Нехай - базисний мінор матриці A. тоді:
    1. базисні рядки і базисні стовпці лінійно незалежні;
    2. будь-який рядок (стовпець) матриці A є лінійна комбінація базисних рядків (стовпців).
  • наслідки:
    • Якщо ранг матриці дорівнює r. то будь-які p: p> r рядків або стовпців цієї матриці будуть лінійно залежні.
    • Якщо A - квадратна матриця, і рядки і стовпці цієї матриці лінійно залежні.
    • Нехай, тоді максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї матриці дорівнює r.
  • Теорема (про інваріантності рангу при елементарних перетвореннях): Введемо позначення для матриць, отриманих одна з одної елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо, то їх ранги рівні
  • Теорема Кронекера - Капеллі: Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
    • Кількість головних змінних системи одно рангу системи.
    • Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Дивитися що таке "Повний ранг" в інших словниках:

РАНГ - (нім. І фр.). Ступінь, чин, клас, гідність. У морск. справі кожен рід військових судів розділяється на ранги, напр. корабель 1 го рангу стогарматні, другого 70 гарматний. Словник іншомовних слів, які увійшли до складу української мови. Чудінов А.Н. 1910 ... Словник іншомовних слів української мови

Лінійна регресія - (англ. Linear regression) використовувана в статистиці регресійна модель залежності однієї (що пояснюється, залежною) змінної y від іншої або кількох інших змінних (факторів, регресорів, незалежних змінних) x з лінійною функцією ... Вікіпедія

БОЛГАРСЬКА ПРАВОСЛАВНА ЦЕРКВА - [БПЦ; болг. Б'лгарскі Православна Ц'рква]. Сучасне становище В наст. час юрисдикція БПЦ поширюється на територію Болгарії, а також на правосл. болг. громади Зап. Європи, Сівши. і Пд. Америки та Австралії. Вища духовна влада в БПЦ ... ... Православна енциклопедія

Lineage II - Цей термін має також інші значення див. Lineage. Стиль цієї статті неенціклопедічен або порушує норми української мови. Статтю слід виправити згідно стилістичним правилам Вікіпедії ... Вікіпедія

Tekken: Dark Resurrection - Tekken ™ 5: Dark Resurrection Версія гри для Північної Америки Версія гри для Європи Розробник ... Вікіпедія

Схожі статті