порядок величини

Порядок величини - клас еквівалентності

\ mathcal_n

величин (або шкал)

\ Mathcal_n = \ lbrace<>x_n \ rbrace

, виражають деякі кількості, в рамках якого всі величини мають фіксоване відношення

r = \ frac>

до відповідних величинам попереднього класу.

Найчастіше під порядком на увазі не саме клас еквівалентності $\ mathcal_n$ а деяку його числову характеристику, що задає цей клас за даних умов (наприклад, порядковий номер класу $n$ за умови що певний клас $\ mathcal_0$ було поставлено або мається на увазі).

порядок числа

При роботі з числами, представленими в деякій системі числення за основою $b$ , найчастіше приймають $r = b$ і $1 \ in \ mathcal_1$ , $b \ in \ mathcal_2$ . При цьому $n$ збігається з кількістю цифр в числі, якщо його записати в позиційній системі числення.

Наприклад для десяткової системи числення в цьому випадку кожна декада позитивних чисел буде належати тільки одному порядку:

$\ Mathcal_1 \ supset \ lbrace<>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \ rbrace$
$\ Mathcal_2 \ supset \ lbrace<>10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 \ rbrace$
$\ Mathcal_3 \ supset \ lbrace<>100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 \ rbrace$

Аналогічним чином можна визначити порядки чисел і для інших підстав системи числення. Частіше за інших розглядають

порядки чисел за основою $b = 10$ ,
порядки чисел за основою $b = 2$
порядки чисел за основою $b = e$ .

Порядок чисел в природній мові

У природних мовах зустрічаються вислови на кшталт «на порядок більше», «на багато порядків більше», «на пару порядків менше». У більшості випадків маються на увазі десяткові порядки, тобто ці вирази можна прочитати як «приблизно в десять разів більше», «приблизно в $10 ^ n$ раз більше, де $n$ - досить велика »,« приблизно в 100 разів менше ».

Порядок чисел і логарифмічна функція

Відповідні числа, що належать суміжним порядкам $\ Mathcal _, \ mathcal _, \ mathcal _, \ ldots, \ mathcal_$ можуть бути записані як $x, rx, r ^ 2x, \ ldots, r ^ rx$ , де $x \ in \ mathcal_$ - перше з чисел. Це властивість визначає зв'язок поняття порядку числа з показовою і зворотного до неї логарифмічною функцією.

Зокрема за допомогою поняття логарифмічною функції може бути сформульовано необхідна умова приналежності чисел до одного порядку: Нехай на безлічі позитивних чисел задано якесь розбиття на порядки. Якщо два числа належать одному порядку, то $\ Left | \ log_r \ frac \ right | <1$ .

Дійсно, нехай числа $m \ in \ mathcal_n$ і $M \ in \ mathcal_n$ є мінімальним і максимальним числом, що належить порядку $\ mathcal_n$ . якщо число $x \ in \ mathcal_n$ так само належить порядку $\ mathcal_n$ , то його значення повинно задовольняти умові $m \ leq x \ leq M$ . У той же час числа $rm$ і $\ fracM$ належать суміжним з порядком $\ mathcal_n$ порядкам $\ mathcal_$ і $\ mathcal_$ відповідно. З цього випливає, що для будь-якого числа $x$ в даному порядку виконується співвідношення $\ fracM .$

Нехай два числа $x_1$ і $x_2$ належать даному порядку $\ mathcal_n$ . тоді $-1 = \ log_r \ frac <\log_r\frac <\log_r\fracM>= 1$ .

різниця порядків

Якщо два числа $x_1$ і $x_2$ належать порядкам $x_1 \ in \ mathcal_$ і $x_2 \ in \ mathcal_$ в деякому розбитті позитивних чисел на порядки, то значення $d = d (x_1, x_2) = n_2-n_1$ іноді називають різницею порядків цих цих чисел.

Для двох чисел $x_1$ і $x_2$ різницю їх порядків може бути знайдена як $d = \ left \ lfloor \ log_r \ frac \ right \ rfloor$ при $x_2 \ geq x_1$ .

виберемо число $x_2 ^ \ mathord \ in \ mathcal_$ належить порядку $\ mathcal_$ і відповідне числу $x_2$ з порядку $\ mathcal_$ . За визначенням порядку існує таке ціле $d$ , що $x_2 ^ \ mathord = r ^ x_2$ . Отримуємо, що $\ Log_r \ frac = \ log_r \ frac> = d + \ log_r \ frac>$ .

числа $x_1$ і $x_2 ^ \ mathord$ належать одному порядку і тому $\ Log_r \ frac> <1$ . У той же час число $d$ є цілим, а значить $d = \ left \ lfloor<>d \ right \ rfloor = \ left \ lfloor<>d + \ log_r \ frac> \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ log_r \ frac \ right \ rfloor$ .

В разі $x_2 \ leq x_1$ різницю порядків іноді беруть з негативним знаком $d (x_1, x_2) = -d (x_2, x_1)$ .

Рівність різниці порядків нулю є необхідною і достатньою умовою того, що числа належать до одного порядку.

Узагальнення різниці порядків

Іноді поняття різниці порядків узагальнюють, знімаючи вимога приналежності до класу цілих чисел і визначаючи її через вираз $d = \ log_r \ frac$ .

У такій інтерпретації сенсу набувають вислови на кшталт «числа $x_1$ і $x_2$ розрізняються не більше ніж на пів порядку »тобто $\ Left | \ log_r \ frac \ right | \ leq \ frac$ або $\ Frac> x_1 \ leq x_2 \ leq \ sqrtx_1$ .

: Невірне або відсутнє зображення

Для поліпшення цієї статті з математики бажано? :

Напишіть відгук про статтю "Порядок величини"

Уривок, що характеризує Порядок величини

"Кохання? Що таке любов? - думав він. - Любов заважає смерті. Любов є життя. Все, все, що я розумію, я розумію тільки тому, що люблю. Все є, все існує тільки тому, що я люблю. Все пов'язано одною нею. Любов є бог, і вмерти - значить мені, частці любові, повернутися до загального і вічного джерела ». Думки ці здалися йому втішні. Але це були тільки думки. Чого бракувало в них, що то було однобічно приватне, розумовий - не було очевидності. І було те ж занепокоєння і неясність. Він заснув.
Він бачив уві сні, що він лежить в тій же кімнаті, в якій він лежав в дійсності, але що він не поранений, а здоровий. Багато різних осіб, незначних, байдужих, є перед князем Андрієм. Він говорить з ними, сперечається про що то непотрібному. Вони збиратися їхати кудись. Князь Андрій смутно нагадує, що все це мізерно і що у нього є інші, найважливіші турботи, але продовжує говорити, дивуючи їх, якісь порожні, дотепні слова. Потроху, непомітно всі ці особи починають зникати, і все замінюється одним питанням про зачиненої двері. Він встає і йде до дверей, щоб засунути засувку і замкнути її. Тому, що він встигне або не встигне замкнути її, залежить все. Він йде, поспішає, ноги його не рухаються, і він знає, що не встигне замкнути двері, але все таки болісно напружує всі свої сили. І болісний страх охоплює його. І цей страх є страх смерті: за дверима стоїть воно. Але в той же час як він безсило ніяково підповзає до дверей, це що щось жахливе, з іншого боку вже, натискаючи, ломиться в неї. Що то не людське - смерть - ломиться в двері, і треба утримати її. Він схоплюється за двері, напружує останні зусилля - замкнути вже не можна - хоч утримати її; але сили його слабкі, незграбні, і, Надавлюйте жахливим, двері відчиняються і знову зачиняється.
Ще раз воно надавив звідти. Останні, надприродні зусилля марні, і обидві половинки відчинилися беззвучно. Воно увійшло, і воно є смерть. І князь Андрій помер.
Але в ту ж мить, як він помер, князь Андрій згадав, що він спить, і в ту ж мить, як він помер, він, зробивши над собою зусилля, прокинувся.
«Так, це була смерть. Я помер - я прокинувся. Так, смерть - пробудження! »- раптом просвітліло в його душі, і завіса, яка приховувала досі невідоме, була піднята перед його душевним поглядом. Він відчув як би звільнення перш пов'язаної в ньому сили і ту дивну легкість, яка з тих пір не залишала його.
Коли він, прийшовши до тями в холодному поту, заворушився на дивані, Наташа підійшла до нього і запитала, що з ним. Він не відповів їй і, не розуміючи її, подивився на неї дивним поглядом.
Це те було те, що трапилося з ним за два дні до приїзду княжни Марії. З цього ж дня, як казав доктор, виснажлива лихоманка прийняла поганий характер, але Наташа не цікавилася тим, що говорив доктор: вона бачила ці страшні, більш для неї безсумнівні, моральні ознаки.
З цього дня почалося для князя Андрія разом з пробудженням від сну - пробудження від життя. І щодо тривалості життя воно не здавалося йому більш повільно, ніж пробудження від сну щодо тривалості сновидіння.

Нічого не було страшного і різкого в цьому, відносно повільному, пробудженні.
Останні дні та години його пройшли звичайно і просто. І княжна Марія і Наталка, що не відходили від нього, відчували це. Вони не плакали, що не здригалися і останнім часом, самі відчуваючи це, ходили вже не за ним (його вже не було, він пішов від них), а те, що вас близьким спогадом про нього - за його тілом. Почуття обох були такі сильні, що на них не діяла зовнішня, страшна сторона смерті, і вони не знаходили потрібним ятрити своє горе. Вони не плакали ні при ньому, ні без нього, але і ніколи не говорили про нього між собою. Вони відчували, що не могли висловити словами того, що вони розуміли.
Вони обидві бачили, як він глибше і глибше, повільно і спокійно, опускався від них кудись туди, і обидві знали, що це так має бути і що це добре.
Його сповідували, причастили; всі приходили до нього прощатися. Коли йому привели сина, він доклав до нього свої губи і відвернувся, не тому, щоб йому було важко або шкода (княжна Марія і Наталка розуміли це), але тільки тому, що він вважав, що це все, що від нього вимагали; але коли йому сказали, щоб він благословив його, він виконав необхідну і озирнувся, ніби запитуючи, чи не потрібно ще що-небудь зробити.
Коли відбувалися останні здригання тіла, залишені духом, княжна Марія і Наталка були тут.
- Скінчилося. - сказала княжна Марія, після того як тіло його вже кілька хвилин нерухомо, холодіючи, лежало перед ними. Наташа підійшла, глянула в мертві очі і поспішила закрити їх. Вона закрила їх і не поцілувала їх, а приклалася до того, що було найближчим спогадом про нього.

Схожі статті

Попередня ◈ Наступна