Похідна в фізиці
Переходячи до фізичних додатків похідною, ми будемо використовувати дещо інші позначення ті, які прийняті у фізиці.
По-перше, змінюється позначення функцій. Справді, які функції ми збираємося диференціювати? Цими функціями служать фізичні величини, що залежать від часу. Наприклад, координата тіла x (t) і його швидкість v (t) можуть бути задані формулами на кшталт таких:
x (t) = 1 + 12t 3t 2;
Таким чином, аргументом функції тепер є час t, а буква x відтепер позначає функцію координату точки.
По-друге, змінюється позначення похідної. Штрих у фізиці зарезервований для інших цілей, і замість нього ми використовуємо точку над буквою:
похідна функції x (t) позначається x (t):
Є ще одне позначення похідної, дуже поширене як в математиці, так і в фізиці:
похідна функції x (t) позначається
(Читається ¾де ікс по де те¿).
Зупинимося докладніше на змісті позначення (29). Математик розуміє його двояко або як межа:
або як дріб, в знаменнику якої коштує приріст часу dt, а в чисельнику так званий диференціал dx функції x (t). Поняття диференціала не складно, але ми не будемо його зараз обговорювати; воно чекає вас на першому курсі.
Фізик, не скована вимогами математичної строгості, розуміє позначення (29) більш неформально. Нехай dx є зміна координати за час dt. Візьмемо інтервал dt настільки маленьким, що ставлення dx = dt близько до своєї межі (30) з влаштовує нас точністю.
І тоді, скаже фізик, похідна координати за часом є просто дріб, у чисельнику якого стоїть досить мале зміна координати dx, а в знаменнику досить малий проміжок часу dt, протягом якого ця зміна координати сталося. Таке Нечитка розуміння похідною характерно для міркувань у фізиці. Далі ми будемо дотримуватися саме цього фізичного рівня строгості.
Давайте повернемося до вихідного наприклад (26) і порахуємо похідну координати, а заодно подивимося на спільне використання позначень (28) і (29):
x (t) = 1 + 12t 3t 2) x (t) = dt d (1 + 12t 3t 2) = 12 6t:
(Символ диференціювання dt d перед дужкою це все одно що штрих зверху за дужки в колишніх позначеннях.)
Зверніть увагу, що обчислена похідна координати виявилася дорівнює швидкості тіла (27). Це не випадковий збіг, і нам потрібно обговорити його більш детально.
2.1 Похідна координати
Насамперед зазначимо, що швидкість в (27) може бути як позитивною, так і негативною. А саме, швидкість позитивна при t <2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t> 2.
Як це розуміти? Дуже просто: ми маємо справу не з абсолютною величиною швидкості, а з проекцією v x вектора швидкості на вісь X. Тому замість (27) правильніше було б написати:
Якщо ви забули, що таке проекція вектора на вісь, то прочитайте відповідний розділ статті ¾ Вектори у фізиці ¿. Тут ми нагадаємо лише, що знак проекції v x відображає зв'язок напрямку швидкості і напрямку осі X:
v x> 0. тіло рухається в напрямку осі X; v x <0. тело движется против оси X.
(Наприклад, якщо v x = 3 м / с, то це означає, що тіло рухається зі швидкістю 3 м / с в сторону, протилежну осі X.)
Тому в нашому прикладі (31) ми маємо наступну картину руху: при t <2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t> 2 тіло, розганяючись, рухається в негативному напрямку осі X.
Припустимо, що швидкість тіла по абсолютній величині дорівнює v. Можливі два випадки напрямки руху.
1. Якщо тіло рухається в позитивному напрямку осі X, то мала зміна координати dx позитивно і одно відстані, яку проходить тілом за час dt. Тому
2. Якщо тіло рухається в негативному напрямку осі X, то dx <0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или
Зауважимо тепер, що в першому випадку v x = v, а в другому випадку v x = v. Тим самим обидва випадки об'єднуються в одну формулу:
і ми приходимо до найважливішого фактом: похідна координати тіла дорівнює проекції швидкості тіла на дану вісь.
Легко бачити, що працює ознака зростання (спадання) функції. А саме:
x> 0) v x> 0) тіло рухається в напрямку осі X) координата x збільшується; x <0 ) v x <0 ) тело двигается против оси X ) координата x уменьшается:
2.2 Прискорення
Швидкість тіла характеризує швидкість зміни його координати. Але швидкість також може змінюватися повільніше або швидше. Характеристикою швидкості зміни швидкості служить фізична величина, яка називається прискоренням.
Нехай, наприклад, швидкість автомобіля при рівномірному розгоні збільшилася з v 0 = 2 м / с до v = 14 м / с за час t = 3 с. Прискорення автомобіля обчислюється за формулою:
Таким чином, виходить, що прискорення це похідна швидкості.
Формула (34), однак, не описує всі ситуації, які виникають в механіці. Наприклад, при рівномірному русі по колу швидкість тіла не змінюється по модулю, і відповідно до (34) ми повинні були б отримати a = v = 0. Але ви прекрасно знаєте, що прискорення у тіла є, воно спрямоване до центру кола і називається доцентрові. Тому формула (34) потребує деякої модифікації.
Cвязана ця модифікація з тим, що прискорення насправді є вектором. Виявляється, вектор прискорення показує напрямок зміни швидкості тіла. Що це означає, ми зараз з'ясуємо на простих прикладах.
Нехай тіло рухається вздовж осі X. Давайте розглянемо два випадки напрямки прискорення: по осі X і проти осі X відповідно.
1. Вектор прискорення
a сонаправлени з віссю X (рис. 18). Проекція прискорення на вісь X позитивна: a x> 0.
Мал. 18. a x> 0
В даному випадку швидкість змінюється в позитивному напрямку осі X. А саме:
Якщо тіло рухається вправо (v x> 0), то воно розганяється: швидкість тіла по модулю збільшується. Проекція швидкості v x при цьому також збільшується.
Якщо тіло рухається вліво (v x <0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом увеличивается.
Таким чином, якщо a x> 0, то проекція швидкості v x зростає незалежно від того,
в якому напрямку рухається тіло.
2. Вектор прискорення
a спрямований протилежно осі X (рис. 19). Проекція прискорення на вісь X негативна: a x <0.
Мал. 19. a x <0
В даному випадку швидкість змінюється в негативному напрямку осі X. А саме:
Якщо тіло рухається вправо (v x> 0), то воно гальмує: швидкість тіла по модулю зменшується. Проекція швидкості v x при цьому також зменшується.
Якщо тіло рухається вліво (v x <0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом уменьшается.
Таким чином, якщо a x <0, то проекция скорости v x убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.
Виявлена в цих прикладах зв'язок знака проекції прискорення a x зі зростанням (спадання) проекції швидкості v x приводить нас до потрібної модифікації формули (34):
Приклад. Ще раз повернемося до прикладу (26):
(Координата вимірюється в метрах, час у секундах). Послідовно диференціюючи два рази, отримуємо:
Як бачимо, прискорення постійно по модулю і дорівнює 6 м / с 2. Направлено прискорення в сторону, протилежну осі X.
Наведений приклад є випадок рівноприскореного руху, при якому модуль і напрямок прискорення незмінні (або, коротше кажучи,
a = const). Рівноприскореному русі один з найважливіших і найпоширеніших видів руху в механіці.
З цього прикладу неважко зрозуміти, що при рівноприскореному русі проекція швидкості є лінійною функцією часу, а координата квадратичною функцією.
Приклад. Розглянемо більш екзотичний випадок:
x = 2 + 3t 4t 2 + 5t 3: