Похідна в фізиці, соціальна мережа працівників освіти
Підписи до слайдів:
Похідна в фізиці «... немає жодної області в математиці, яка коли-небудь не опиниться застосовної до явищ дійсного світу ...» Н.І. Лобачевський Роботу виконали Учні 10 класу «А» Середньої школи № 901 Моряшова Вікторія, Мурашкина Олена, Писін Максим Керівник: Онучина Ірина Олексіївна
Цілі і завдання У своїй роботі ми поставили перед собою мету визначити, навіщо потрібна похідна. Детальніше ми зупинимося на питанні: навіщо вона потрібна в фізиці?
Введення Нещодавно на уроці алгебри ми вивчили поняття похідної. Але більшість з нас не розуміє, як це поняття використовується в різних областях науки. Тому ми постараємося вам це пояснити. Зокрема, ми відповімо на питання: як застосовується похідна у фізиці.
Історія похідної Поняття похідної було відкрито Лейбніцом і Ньютоном в кінці 17 століття на основі двох завдань: 1) про розшук дотичній до довільної лінії; 2) про розшук швидкості при довільному законі руху. Ще раніше поняття похідної зустрічалося в роботах італійського математика Тартальї (близько 1500 - 1557 рр.) - тут з'явилася дотична в ході вивчення питання про кут нахилу знаряддя, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. І. Ньютон Г. В. Лейбніц
Похідна Похідна - це функція, яка визначається для кожного х як межа відносини (якщо він існує). Функцію, що має межу, називають дифференцируемой. Похідна характеризує швидкість зміни функції. Похідною функції f (x) в точці х = х 0 називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.
Алгоритм відшукання похідної Зафіксувати значення Х. знайти f (x). Дати аргументу Х приріст Δ х, перейти в нову точку х + Δ х. знайти f (x + Δx). Знайти приріст функції: Δ у = f (x + Δx) - f (x). Скласти ставлення Обчислити межа lim Ця межа і є f '(x). тобто похідна функції. Δ у Δ х Δ x → 0 Δ у Δ х
Фізичний зміст похідної - це швидкість зміни величини або процесу. Якщо точка рухається вздовж осі х і її координата змінюється за законом x (t). то миттєва швидкість точки: v (t) = x '(t)
Фізичний зміст похідної Швидкість - це відстань ділити на час, тобто швидкість - це відстань, пройдену за одиницю часу, значить швидкість - перша похідна від відстані. Прискорення - це швидкість ділити на час, тобто прискорення - це швидкість в одиницю часу, значить прискорення - перша похідна від швидкості. У цьому полягає фізичний зміст похідної.
Висновок: перша похідна функції - це відношення зміни функції до зміни її аргументу. Правильно це зміна називати збільшенням, хоча по суті це одне і теж. Фізичний зміст похідної
Фізичний зміст похідної Поняття похідної широко використовується в сучасній фізиці. Наведемо кілька прикладів. Швидкість. V (t) = S / (t) - перша похідна від переміщення за часом; Прискорення. a (t) = V / (t) - перша похідна від швидкості за часом (друга - від переміщення за часом); Сила струму. I (t) = q / (t) - перша похідна від заряду за часом; Потужність. N (t) = A / (t) - перша похідна від роботи за часом;
Таблиця елементарних похідних
ФІЗИЧНІ ЗАВДАННЯ НА ПЕРЕБУВАННЯ ПОХІДНОЇ
Закон руху точки по прямій задається формулою S1 (t) = 3,5t 2 - 5t + 10. де t час (в секундах), S (t) - відхилення точки в момент часу t (в метрах) від початкового положення. Знайдіть миттєву швидкість руху точки в момент часу. ЗАВДАННЯ №1
3.5 (t + Δt) 2 - 5 (t + Δt) + 10 - 3.5t 2 + 5t + 10 3.5t 2 + 7tΔ t + 3.5Δt 2 - 5t - 5Δt + 10 - 3.5t 2 + 5t - 10 Lim Lim = = Δt Δt Lim 7t Δt + 3.5Δt 2 - 5Δt = Δt = Lim Δt Δt (7t + 3.5 Δt - 5) = Lim 7t + 3.5 Δt - 5 = 7t - 5 РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ №1 Відповідь: 7t - 5
Закон руху точки по прямій задається формулою S (t) = 1,5t 2 + 3t -6. де t час (в секундах), S (t) - відхилення точки в момент часу t (в метрах) від початкового положення. Знайдіть миттєву швидкість руху точки в момент часу. ЗАВДАННЯ №2
1 .5 (t + Δt) 2 - 3 (t + Δt) - 6 - 1.5t 2 + 3t + 6 1.5t 2 + 3tΔ t + 1.5Δt 2 - 3 t - 3Δt - 6 - 1.5t 2 + 3t + 6 Lim Lim = = Δt Δt Lim 3 t Δt + 1.5 Δt 2 - 3Δ t Δt = Lim Δt Δt (3t + 1 .5 Δt - 3) = Lim 3t + 1 .5 Δt - 3 = 3t - 3 РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ №2 Відповідь: 3t - 3
Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі x має вигляд x = A + Bt + Ct3. де А = 2 м, В = 1 м / с, С = -0,5 м / с3. Знайти координату x. ЗАВДАННЯ №3
Підказка до задачі №3
2 + t + Δ t + (0.5t 3 + 1.5t 3 Δt + 1.5t Δt 3 + 0.5 Δt 3) - 2 - t - Δ t - 0.5t 3 2 + 1 (t + Δ t) + 0.5 (t + Δ t) 3 - 2 - t - Δt - 0.5t 3 Lim Lim = = Δt Δt Lim Δt = Lim Lim 0.5t 3 + 1.5t Δt 2 - 0.5Δt 2 0.5t 3 + 1.5t 3 Δt + 1.5tΔt 3 = Δt Δt (0.5t 3 + 1.5t Δt 2 - 0.5Δt 2) = 0.5t 3 РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ №3 Відповідь: 0, 5 t 3
Висновок Як ми бачимо, похідна зустрічається не тільки в алгебрі і геометрії, а й у такій науці, як фізика. Вона потрібна для знаходження граничного значення процесу, що відбувається при тому чи іншому фізичному явищі.