Початки теорії ймовірності
Основні поняття теорії ймовірності
Розділ математики, який вивчає закономірності масових випадкових подій, називається теорією ймовірності.
Вихідним поняттям теорії ймовірності є поняття події.
Подія - це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається або не відбувається. в залежності від природи самої події.
Події позначаються великими літерами латинського алфавіту A, B, C. Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування.
Наприклад, підкидаємо монету - випробування, поява герба - подія; дістаємо лампу з коробки - випробування, вона бракована - подія; виймаємо навмання кулька з ящика - випробування, кулька виявився чорного кольору - подія.
Випадковою подією називається подія, яке може відбутися або не відбутися під час даного випробування. Наприклад, виймаючи навмання одну карту з колоди, ви взяли туз; стріляючи, стрілок потрапляє в ціль.
Теорія ймовірності вивчає тільки масові випадкові події.
Достовірною подією називається подія, яке внаслідок даного випробування обов'язково станеться; (Позначається E).
Неможливою подією називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися; (Позначається U).
Наприклад, поява одного з шести очок під час одного кидка грального кубика - достовірна подія, а поява 8 очок - неможливе.
Рівноможливими події - це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше іншого під час численних випробувань, які проводяться з однаковими умовами.
Попарно несумісні події - це події, два з яких не можуть відбутися разом.
Імовірність випадкової події - це відношення числа подій, які сприяють цій події, до загального числа всіх рівно можливих несумісних подій:
де A - подія;
P (A) - ймовірність події;
N - загальне число рівно можливих і несумісних подій;
N (A) - число подій, які сприяють події A.
Це - класичне означення ймовірності випадкової події.
Класичне визначення ймовірності має місце для випробувань з кінцевим числом рівно можливих результатів випробування.
Нехай зроблено n пострілів по мішені, з яких виявилося m влучень. Ставлення W (A) = називається відносної статистичної частотою настання події A.
Отже, W (A) - статистична частота потрапляння.
Кількість пострілів, n
При проведенні серії пострілів (табл.1) статистична частота буде коливатися близько певного постійного числа. Це число доцільно прийняти за оцінку ймовірності попадання.
Ймовірністю події A називається то невідоме число P, біля якого збираються значення статистичних частот настання події A при зростанні числа випробувань.
Це - статистичне позначення ймовірності випадкової події.
Операції над подіями
Під елементарними подіями. пов'язаними з певним випробуванням, розуміють всі нерозкладних результати цього випробування. Кожна подія, яке може настати в результаті цього випробування, можна розглядати як деякий безліч елементарних подій.
Простором елементарних подій називається довільне безліч (кінцеве або нескінченне). Його елементи - точки (елементарні події). Підмножини простору елементарних подій називаються подіями.
Всі відомі відносини і операції над множинами переносяться на події.
Кажуть, що подія A є окремим випадком події B (або B є результатом A), якщо множина A є підмножиною B. Позначають це відношення так само, як для множин: A ⊂ B або B ⊃ A. Таким чином, ставлення A ⊂ B означає, що всі елементарні події, що входять в A, входять також в B, тобто при настанні події A настає також подія B. при цьому, якщо A ⊂ B і B ⊂ A, то A = B.
Подія A. яке відбувається тоді і тільки тоді, коли подія A не відбувається, називається протилежним події A. Оскільки в кожному випробуванні відбувається одне і тільки одне з подій - A або A. то P (A) + P (A) = 1, або P (A) = 1 - P (A).
Об'єднанням або сумою подій A і B називається подія C, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли або відбувається подія A, або відбувається подія B, або відбуваються A і B одночасно. Це позначається C = A ∪ B або C = A + B.
Об'єднанням подій A1. A2. An називається подія, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається хоча б одне з цих подій. Позначається об'єднання подій A1 ∪ A2 ∪. ∪ An. або Ak. або A1 + A2 +. + An.
Перетином або твором подій A і B називається подія D, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли події A і B відбуваються одночасно, і позначається D = A ∩ B або D = A × B.
Суміщенням або твором подій A1. A2. An називається подія, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається і подія A1. і подія A2. і т.д. і подія An. Позначається поєднання так: A1 ∩ A2 ∩. ∩ An або Ak. або A1 × A2 ×. × An.
Якщо події A і B не можуть відбутися одночасно, то такі події називають несумісними.
Значить, для несумісних подій, і тільки для них, A ∩ B = U.
Також A ∩ E = A, A ∪ U = A, A ∩ U = U, тобто неможлива подія U грає роль нуля, а достовірна подія E грає роль одиниці, тобто U = ∅, E = 1.
Різницею A \ B подій A і B називається подія F, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія A і не відбувається подія B, тобто F = A \ B.
Визначення операцій об'єднання, перетину, різниці подій можна проілюструвати за допомогою кілець Ейлера: