побудова гіперболи

п.5. Побудова гіперболи.

Будуємо основний прямокутник гіперболи і проводимо його діагоналі. Продовжуючи діагоналі прямокутника за його межі, отримуємо асимптоти гіперболи.

В силу симетрії досить побудувати гіперболу в першій чверті, де вона є графіком функції

З огляду на, що дана функція є зростаючою на проміжку, при і її графік наближається знизу до асимптоти, отримуємо:

Далі побудований в першій чверті графік симетрично відображаємо щодо осі Ох і отримуємо праву гілку гіперболи. Залишилося відобразити побудовану праву гілку гіперболи відобразити щодо осі Оу.

п.6. Ексцентриситет гіперболи.

За визначенням ексцентриситет гіперболи дорівнює

. Зафіксуємо дійсну вісь 2а і почнемо змінювати фокучное відстань 2с. Так як, то при цьому змінюється і величина b.

1) Нехай. При цьому, і уявні вершини прагнуть до початку координат, асимптоти наближаються до осі Ох. Основний прямокутник гіперболи вироджується в межі в відрізок, а сама гіпербола вироджується в два променя на осі абсцис: і.

2) Нехай. При цьому, і уявні вершини прагнуть до нескінченності, асимптоти наближаються до осі Оу. Основний прямокутник гіперболи витягується уздовж осі ординат і гілки гіперболи прібліжаеются до прямих і в межі зливаються з ними. Гіпербола вироджується в дві прямі, паралельні осі Оу.

п.7. Равнобочная гіпербола.

Визначення. Равнобочной гіперболою називається гіпербола, екчцентрісітет якої дорівнює.

Дійсно,, звідки і. З огляду на, що а і b позитивні числа, отримуємо.

Основний прямокутник равнобочной гіперболи є квадратом, рівняння асимптот. Значить, асимптотами равнобочной гіперболи є бісектриси координатних кутів, кут між якими є прямим.

Введемо нову ПДСК зі старим початком координат, осі якої збігаються з асимптотами равнобочной гіперболи. Нову систему координат можна отримати їх старої, якщо одночасно повернути старі осі координат навколо початку координат по годинникової стрілки на кут.

Без докази приймемо наступну теорему.

Теорема. У новій системі координат рівняння равнобочной гіперболи має вигляд

З теореми випливає, що якщо рівняння равнобочной гіперболи в новій системі координат має вигляд

, то в старій канонічної системі координат її рівняння має вигляд, тобто .

Схожі статті