побудова гіперболи
п.5. Побудова гіперболи.
Будуємо основний прямокутник гіперболи і проводимо його діагоналі. Продовжуючи діагоналі прямокутника за його межі, отримуємо асимптоти гіперболи.
В силу симетрії досить побудувати гіперболу в першій чверті, де вона є графіком функції
З огляду на, що дана функція є зростаючою на проміжку, при і її графік наближається знизу до асимптоти, отримуємо:
Далі побудований в першій чверті графік симетрично відображаємо щодо осі Ох і отримуємо праву гілку гіперболи. Залишилося відобразити побудовану праву гілку гіперболи відобразити щодо осі Оу.
п.6. Ексцентриситет гіперболи.
За визначенням ексцентриситет гіперболи дорівнює
. Зафіксуємо дійсну вісь 2а і почнемо змінювати фокучное відстань 2с. Так як, то при цьому змінюється і величина b.
1) Нехай. При цьому, і уявні вершини прагнуть до початку координат, асимптоти наближаються до осі Ох. Основний прямокутник гіперболи вироджується в межі в відрізок, а сама гіпербола вироджується в два променя на осі абсцис: і.
2) Нехай. При цьому, і уявні вершини прагнуть до нескінченності, асимптоти наближаються до осі Оу. Основний прямокутник гіперболи витягується уздовж осі ординат і гілки гіперболи прібліжаеются до прямих і в межі зливаються з ними. Гіпербола вироджується в дві прямі, паралельні осі Оу.
п.7. Равнобочная гіпербола.
Визначення. Равнобочной гіперболою називається гіпербола, екчцентрісітет якої дорівнює.
Дійсно,, звідки і. З огляду на, що а і b позитивні числа, отримуємо.
Основний прямокутник равнобочной гіперболи є квадратом, рівняння асимптот. Значить, асимптотами равнобочной гіперболи є бісектриси координатних кутів, кут між якими є прямим.
Введемо нову ПДСК зі старим початком координат, осі якої збігаються з асимптотами равнобочной гіперболи. Нову систему координат можна отримати їх старої, якщо одночасно повернути старі осі координат навколо початку координат по годинникової стрілки на кут.
Без докази приймемо наступну теорему.
Теорема. У новій системі координат рівняння равнобочной гіперболи має вигляд
З теореми випливає, що якщо рівняння равнобочной гіперболи в новій системі координат має вигляд
, то в старій канонічної системі координат її рівняння має вигляд, тобто .