параграф 1
Нехай до - довільне числове поле.
Е - непорожня множина n-мірних упорядкованих наборів (векторів).
Це так само означає, що n-мірні вектора з безлічі Е можна множити на елемент з поля К. А так же розглядати всілякі лінійні комбінації з поля К.
Перше визначення лінійного простору:
V (k) - непорожня множина називається лінійним векторним простором якщо для n - мірних векторів безлічі V виконані аксіоми ЛГП:
1) Властивість замкнутості ЛГП щодо додавання векторів і множення вектора на число з До
2) Існування нульового елемента
3) Існування протилежного елементу:
Для будь-якого ненульового вектора існує протилежний вектор
4) Закон додавання і множення векторів на число
5) Додаткові закони
a. Закон дистрибутивности щодо складання скалярів:
Операції додавання і множення на скаляр називаються внутрішніми законами композиції.
Друге визначення ЛГП:
Непорожня множина V разом з визначеннями додавання і множення на число називається ЛВП, якщо виконана умова.
1) Чи є абельовой (комутативність) групою
2) Безліч V щодо множення на число утворює моноїд (виконаний закон дистрибутивности щодо складання скалярів)
Нехай довільна сукупність векторів з ЛГП.
Система Е називається системою породжують якщо будь-який вектор з ЛГП V представимо у вигляді лінійної комбінації векторів з системи Е
Базисом ЛГП називається безліч всіх його лінійних незалежних векторів або безліч складається з максимальної кількості всіх лінійно незалежних векторів ЛВП.
Лемма про що породжують:
Будь-яке лінійне векторне простір містить систему породжують.
Користуючись визначенням системи породжують і тим фактом що ЛГП за визначенням непорожнє, будемо будувати необхідну систему: Довільним чином виберемо ненульовий вектор. За допомогою чого розглянемо нетривіальні лінійні комбінації з цим вектором, в результаті чого отримаємо деяку множину векторів породжених цим вектором.
Звичайно ж, ЛВП цим безліччю не обмежується. Додамо до вихідного породжує вектору інший, який лінійно не виражає через даний вектор.
Використовуючи отриману систему з 2-х векторів розглянемо всі можливі їх нетривіальні лінійні комбінації і в результаті отримаємо деяку множину векторів, породжених векторами вихідної системи. Продовжуючи вище описаний процес, в результаті отримуємо деяку систему векторів, яка виявиться системою породжують.
Примітка до Лемме про що породжують:
Якщо з системи породжують виключити будь - якої вектор є нетривіальною лінійною комбінацією інших векторів цієї системи, то залишилися система так само буде системою породжують.
Будь-яка система породжують містить базис.
Користуючись начерком доказ леми (про що породжують) і використовуючи другу лемму про них, можна побудувати систему векторів, яка буде містити всі лінійно незалежні вектора ЛВП.
Примітка до лемме про базис:
Може виявитися що в системі породжують підмножина всіх лінійно незалежних векторів вихідної системи може і не бути базисом. Якщо це має місце, то цю систему доповнюємо іншими лінійно незалежними векторами ЛВП до базису.
Якщо попалася така система породжують, то вона є системою породжують лінійного підпростору вихідного ЛВП.
Розмірністю лінійного векторного простору називається кількість векторів у базисі цього простору.
Лінійне векторний простір містить нескінченну (безліч) кількість базисів.
Звичайно-мірне ЛГП - це безліч поліномів однієї змінної.
Нехай дана система векторів
Лінійною оболонкою натягнутою на систему векторів ЛГП L називається безліч всіляких лінійних комбінацій векторів цієї системи:
Теорема про лінійних оболонках:
Лінійна оболонка, натягнута на довільну кінцеву систему векторів утворює підпростір вихідного ЛВП.
Лінійна оболонка збігається з вихідним ЛВП в тому випадку коли система є базисом ЛВП (натягнута на базис)
Дано дві системи векторів:
Дані дві системи називаються еквівалентними, якщо вектора однієї системи лінійно виражаються через вектора інший і навпаки.
Пропозиція про лінійної незалежності еквівалентних систем векторів:
Якщо кожна з систем є лінійно незалежної то вони складаються з однакової кількості векторів
Нехай одна з систем є лінійно незалежною. Тоді кількість векторів інший системи не менше кількості векторів в першій системі.
Нехай дано відображає ЛГП V в ЛВП W.
Відображення f називається гомоморфизмом, якщо виконані наступні умови:
1) Образ суми векторів дорівнює сумі образів цих векторів
2) Образ твору вектора на скаляр дорівнює добутку образу вектора на цей же скаляр
3) Образ довільної лінійної комбінації з ЛГП V дорівнює лінійної комбінації образів цих векторів з тими ж скалярами (еквівалентну умова)
Гомоморфізми f називається ізоморфним, якщо він є взаємно однозначним відповідністю.
Якщо між двома ЛВП можна встановити взаємно однозначну відповідність (ізоморфізм), то дані ЛГП називаються ізоморфними.
Ставлення ізоморфізму між ЛВП мають такі властивості.
Ставлення володіють вказаними властивостями називається відношенням еквівалентності
Теорема про ізоморфних ЛГП:
Будь-які два ізоморфних ЛВП мають однакову розмірність.
Параграф 2. Підпростори
Нехай дано ЛГП V
Непорожня множина v 'називається подпространством ЛГП V якщо виконані умови:
1) Сума будь-яких двох векторів з безлічі v 'також є вектором цієї множини
2) Твір будь-якого вектора V 'на скаляр (число) так само є вектором даного безлічі V'
Нехай дано гомоморфізм
Ядром гомоморфізму f називається безліч всіх таких векторів з ЛГП V, чином яких є нульовий вектор ЛГП W.
Чином гомоморфизма f називається множина все нетривіальних векторів ЛГП W є образами ненульових векторів з ЛГП V:
Теорема про ядро і образі гомоморфизма:
Нехай гомоморфізм між ЛВП V і W
Ядро гомоморфізму f є подпространством ЛГП V
Образ гомоморфизма f є подпространством ЛГП W.
1) Покажемо що ядро гомоморфізму f є підпростір ЛГП V.
- Виберемо 2 елементи
- Перевіримо чи виконуються поняття підпростору і основні властивості поняття гомоморфізму:
З рівності (1) видно, що сума двох векторів з ядра має образ нуль вектор ЛГП W. Це означає що сума двох векторів належить ядру гомоморфизма (Перша умова визначення підпростору.)
З нерівності (2) випливає, що твір довільного скаляра на довільний вектор x з ядра, так само є вектором з ядра (друга умова визначення підпростору)
2) Покажемо, що образ гомоморфізму f є подпространством ЛГП W
- Виберемо x 'і y' з образу f
- Перевіримо чи виконується поняття підпростору і основні властивості поняття гомоморфізму.
Так як сума векторів x 'і y' не є нуль-вектором і згідно з визначенням ядра, ця сума є чином суми двох ненульових векторів з ЛГП V.
Доказ другого властивості гомоморфізму ґрунтуються на наведених вище викладках.
Теорема про найпростіші властивості гомоморфізмів:
Нехай. Має місце такі найпростіші властивості
Теорема про найпростіші властивості ізомофрізма:
Нехай. Трапляються такі найпростіші властивості:
1) Образом будь-якого ненульового вектора з V є ненульовий вектор з W
3) Образами векторів, що утворюють лінійно незалежну систему в ЛВП V, є векторами їх ЛГП W, які так само утворюють лінійно незалежну систему.
, такі ЛНВС ЛГП W /
4) Нехай дана довільна лінійно залежна система векторів з ЛГП V, причому їх лінійна комбінація (не тривіальне), прирівняна до. з деякими скалярами тоді чином цієї системи буде являтся так само лінійно залежна система векторів. При чому нетривіальна лінійна комбінація образів прирівняна до з ТЄЇ ж скалярами