Ортогональний базис, математика, fandom powered by wikia
Ортогональний базис - система попарно ортогональних елементів гильбертова простору така, що будь-який елемент однозначно представимо у вигляді сходиться за нормою ряду
званим поруч Фур'є елемента по системі. Зазвичай базис вибирається так, що, і тоді він називається ортонормованим базисом. У цьому випадку числа, називаються коефіцієнтами Фур'є елемента по ортонормированном базису, мають вигляд
.
Необхідною і достатньою умовою того, щоб ортонормированном система була базисом, є рівність Парсеваля
для будь-кого. Гільбертовому просторі, що має ортонормованій базис, є сепарабельном. і назад, у всякому сепарабельном гільбертовому просторі існує ортонормованій базис.
Якщо задана довільна система чисел така, що, то в разі гильбертова простору з ортонормованим базисом ряд - сходиться за нормою до деякого елементу. Цим встановлюється ізоморфізм будь-якого сепарабельного гильбертова простору простору (теорема Рісса - Фішера).