Ортогональна система функцій - велика українська енциклопедія - електронна версія
Ортогональній системі ФУ НК - цій, сис-те-ма функ-цій $ \, n = 1,2, \ dots, $ ор-то-го-наль-них з ве-сом $ p (x) \ gt 0 $ на від-рез-ке $ [a, b] $. т. е. та-ких, що $$ \ int ^ b_a \ phi_m (x) \ phi_n (x) p (x) dx = 0 \ quad \ text \ quad m \ neq n. $$ Три-го-но метил-річ. сис-те-ма: $ 1, \ cos nx, \ sin nx, n = 1,2, \ dots, $ да-ет при-мер О. с. ф. з ве-сом $ 1 $ на від-рез-ке $ [- \ pi, \ pi] $.
Ес-ли ка-ж-дая функ-ція з О. с. ф. та-ко-ва, що $$ \ int ^ b_a \ left | \ phi_n (x) \ right | ^ 2p (x) dx = N_n = 1 $$ (ус-ло-віє нор-ми-ро-ван- но-сті), то та-кая сис-те-ма функ-цій на-зи-ва-ет-ся ор-то-нор-ми-ро-ван-ної.
Лю-буя О. с. ф. мож-но від-нор-ми-ро-вать, розум-но-живий $ \ phi_n (x) $ на чис-ло $ 1 / \ sqrt $ - нор-ми-рую-щий мно-жи-тель. З лю-бій сис-те-ми чи-ней-але не через-ві-сі-мих функ-цій $ \, k = 1,2, \ dots, $ для ка-ж-дою з ко-то- яких су ще ст-ву-ет ін-те-Граля $$ \ int_a ^ b \ left | f_k (x) \ right | ^ 2p (x) dx, $$ мож-но по-будів-ить нор- мі-ро-ван-ву О. с. ф. Для це-го дос-та-точ-но рас-смот реть ли-ній-ні кому-бі-на-ції цих функ-цій $$ \ phi_n (x) = \ sum ^ n_C_f_k (x) $$ і оп-ре-де-лити ко-еф-фі-ци-ен-ти $ C_ $ з ус-ло-вия ор-то-го-наль-но-сті $ \ phi_n (x) $ до всіх функ-ци -ям $ f_k (x), 1 \ leq k \ lt n, $ - з це-го сле-ду-ет ор-то-го-наль-ність $ \ phi_n (x) $ до всіх $ \ phi_k (x ), 1 \ leq k \ lt n, $ - і ус-ло-вия нор-ми-ро-ван-но-сті (про-процес ор-то-го-на-ли-за-ції). Напр. ор-то-го-на-ли-чаплі за ве-сом $ 1 $ на від-рез-ке $ [- 1,1] $ по-сле-до-ва-тель-ність функ-цій $ 1, x, x ^ 2, \ dots, $ при-хо-дять до Ле-жан-д-ра мно-го-чле-нам.
От-дель-ні клас-си О. с. ф. изу-ча-лись ще в 18 ст. Напр. Л. Гей-лер і Д. Бер-нул-ли рас-гля-ри-ва-ли раз-ло-же-ня функ-цій в ря-ди по три-го-но-мет-річ. та ін. сис-те-мам функ-цій. Іс-сле-до-ва-ня по тео-рії по-тен-Циа-ла спо-соб-ст-во-ва-ли ство-да-нию тео-рії сфе-річ. функ-цій. Од-на-ко сис-те-ма-тич. изу-че-ня О. с. ф. свя-за-но з вве-де-ні-ем одного ме-то-да ре-ше-ня краї-вих за-дач рівнян-ні-ний ма-те-ма-тич. фі-зи-ки. Цей ме-тод при-во-дит зви-но до за-да-че про ра-зи-ска-ванні зна-че-ний па-ра-мет-ра $ \ lambda $. ко-то-рим со-від-вет-ст-ву-ють НЕ рав-ні то-ж-де-ст-вен-но ну-лю ре-ше-ня диф-фе-рен-ци-аль-но -го рівнян-ні-ня ви-да $ y '' + q (x) y = \ lambda y $. удов-ле-тво-ряю-щие гра-нич-ним ус-ло-ві-ям $ y (a) + hy '(a) = 0 $. $ Y (b) + Hy '(b) = 0 $. де $ h $. $ H $ - по-сто-ян-ні (див. Штур-ма - Ліу-вил-ля за-да-ча). З-від-вет-ст-ву-щие зна-че-ня $ \ lambda $ на-зи-ва-ють-ся соб-ст-вен-ни-ми зна-че-ня-ми, а ре-ше -ня - власними функ-ція-ми за-да-чи. Мож-но по-ка-мовити, що власної. функ-ції, з-від-вет-ст-ву-щие разл. собств. зна-че-ні-ям, ор-то-го-наль-ни з ве-сом $ 1 $ на від-рез-ке $ [a, b] $. Через-ви-чай-но важ-ний клас О. с. ф. від-критий П. Л. Че-б-ше-вим в його ис-сле-до-ва-ні-ях по ін-тер-по-лі-ро-ва-ню ме-то-будинок най-мень- ших квад-ра-тов і про-бле-ме мо-мен-тів (див. Че-б-ше-ва мно-го-чле-ни).
Однією з осн. задач теорії О. с. ф. є завдання про розкладання досить довільній, що задовольняє деяким обмеженням функції $ f (x) $ в ряд виду $ \ sum ^ \ infty_C_n \ phi_n (x) $. де $ \ $ - О. с. ф. Іс-то-ри-че-скі до цієї за-да-че при-вів по-прос про мож-ли-но-сті раз-ло-же-ня лю-бій функ-ції по собств. функ-ци-ям, по-лу-чаї-мим при при-ме-ні-ванні Фу-рье ме-то-да. Ес-ли по-ло-жити фор-маль-но $ f (x) = \ sum ^ \ infty_C_n \ phi_n (x) $. де $ \ $ - нор-ми-ва-ва О. с. ф. і до-пус-тить мож-ли-ність по-член-но-го ін-тег-ри-ро-ва-ня, то, розум-но-жая цей ряд на $ \ phi_n (x) p (x) $ і ін-тег-ри-ю від $ a $ до $ b $. по-лу-ча-ють $$ C_n = \ int ^ b_a f (x) \ phi_n (x) p (x) dx. \ Quad \ tag $$ Ко-еф-фі-ци-ен-ти $ C_n $. на-зи-ває-мі ко-еф-фі-ци-ен-та-ми Фу-рье функ-ції $ f (x) $ від-но-си-тель-но сис-те-ми $ \ $. об-ла-да-ють сле-дую-щим екс-тре-маль-ним свій-ст-вом: линів-ва фор-ма $ \ sum ^ n_C_k \ phi_k (x) $ най-промінь-шим об-ра -зом при-бли-жа-ет в середовищ-ньому цю функ-цію. Іни-ми сло-ва-ми, середовищ-ня квад-ра-тич-ва ошиб-ка з ве-сом $ p (x) $. т. е. $$ \ sigma_n = \ int ^ b_a \ left | f (x) - \ sum ^ n_C_k \ phi_k (x) \ right | ^ 2p (x) dx = \ int ^ b_a \ left | f (x) \ right | ^ 2p (x) dx- \ sum ^ n_ \ left | C_k \ right | ^ 2, $$ име-ет най-мен-шиї зна-че-ня по срав-ні-нию з ошиб-ка-ми, так-ває-ми-ми при тому ж $ n $ дру-ги-ми чи-ней-ни-ми ви-ра-же-ня-ми ви-да $ \ sum ^ n_ \ gamma_k \ phi_k (x) $. От-сю-да, в ча-ст-но-сті, напів-ча ет ся НЕ-ра-вен ст у Біс-се-ля $$ \ sum ^ \ infty_ \ left | C_k \ right | ^ 2 \ leq \ int ^ b_a \ left | f (x) \ right | ^ 2dx. $$
Ряд $ \ sum ^ \ infty_C_n \ phi_n (x) $ з ко-еф-фі-ци-ен-та-ми $ C_n $. ви-чис-льон-ни-ми по фор-му-ле $ (*) $. на-зи-ва-ють-ся ря-будинок Фу-рье по О. с. ф. $ \ $. Для при-ло-же-ний пер-по-сте-пен-ву важ-ність име-ет по-прос, оп-ре-де-ля-ет-ся чи од-но-знач-но функ-ція $ f (x) $ свої-ми ко-еф-фі-ци-ен-та-ми Фу-рье. О. с. ф. для ко-то-яких це име-ет ме-сто, на-зи-ва-ють-ся пол-ни-ми або замк-ну-ти-ми. Ус-ло-вия замк-ну-то-сти О. с. ф. мо-гут бути так-ни в не-як-ких ек-ві-ва-стрічок-них фор-мах: 1) лю-бая НЕ-пре-рив-ва функ-ція $ f (x) $ мо-же бути з лю-бій сте-пе-нью точ-но-сті при-бли-же-на в середовищ-ньому ли-ней-ни-ми кому-бі-на-ція-ми функ-цій $ \ phi_k (x ) $. т. е. $ \ lim_ \ sigma_n = 0 $ (в цьому слу-чаї го-во-рят, що ряд $ \ sum ^ \ infty_C_n \ phi_n (x) $ схо-дить-ся в середовищ-ньому до функ- ції $ f (x) $); 2) для вся-кою функ-ції $ f (x) $. квад-рат до то рій ін-тег-ри-ру-ем від-но-си-тель-но ве-са $ p (x) $. ви-пол-ня-ет-ся ус-ло-віє замк-ну-то-сти Ля-пу-но-ва - Стек-ло-ва $$ \ sum ^ \ infty_ \ left | C_n \ right | ^ 2 = \ int ^ b_a \ left | f (x) \ right | ^ 2p (x) dx; $$ 3) не су ще ст-ву-ет від-лич-ної від ну-ля функ-ції з ін теґи-ри-РУЕ-мим на від-рез-ке $ [a, b] $ квад-ра-те мо-ду-ля, ор-то-го-наль-ний до всіх функ-ци-ям $ \ phi_n (x), n = 1,2, \ dots $.
Пол-но-та три-го-но-мет-річ. сис-те-ми функ-цій б-ла до-ка-за-на А. М. Ля-пу-но-вим (1896), а пів-но-та сис-те-ми соб-ст-вен- них функ-цій рівнян-ні-ня Штур-ма - Ліу-вил-ля ус-та-нов-ле-на В. А. Стек-ло-вим в ря-де ис-сле-до-ва-ний тисяча вісімсот дев'яносто шість -1919.
З пів-но-ти сис-те-ми $ \ $ не сле-ду-ет, по-про-но го-во-ря, спра-вед-ли-с со-відно-ше-ня $ \ lim_ \ sum ^ n_C_k \ phi_k = f (x) $. т. е. з схо-ді-мо-сти в середовищ-ньому ря-да Фу-рье функ-ції $ f (x) $ не сле-ду-ет його схо-ді-ність до $ f (x) $ в ка-ж-дою точ-ке $ x $. Од-на-ко для біль-шин-ст-ва зустрів чаю-чих-ся в ма-те-ма-тич. ана-лі-зе О. с. ф. це со-від-но-ху спра-вед-ли-во для всіх дос-та-точ-но голод-ких функ-цій.
Гли-бо-кі ис-сле-до-ва-ня про схо-ді-мо-сти ря-да $ \ sum ^ \ infty_C_n \ phi_n (x) $ про- в yoл Д. Є. Меньшов. до-ка-зав-ший, що цей ряд схо-диться поч-ти всю-ду, ес-ли схо-диться ряд $ \ sum ^ \ infty_ \ left | C_n \ right | ^ 2 \ ln ^ 2n $ . при-чому функ-ція $ \ ln ^ 2n $ в об-щем слу-чаї НЕ мо-же бути за-ме-ні-на мед-льон-неї рас-ту-щей функ-ци-їй (для не- ко-то-яких О. с. ф. та-кая за-ме-на мож-ли-ну; так, для три-го-но-мет-річ. сис-те-ми функ-цій мож-но вме -коштують $ \ ln ^ 2n $ взяти $ \ ln n $).
Ес-ли рас-гля-ри-вать функ-ції з ін-тег-ри-РУЕ-мим квад-ра-те мо-ду-ля як еле-мен-ти гиль-бер-то-ва про-країн- ст-ва. то нор-ми-ро-ван-ні О. с. ф. бу-дуть сис-те-ма-ми ко-ор-ди-нат-них ор-тов це-го про-країн-ст-ва, а раз-ло-же-ня функ-ції в ряд по нор-ми -ро-ван-ної О. с. ф. - раз-ло-же-ні-му століття-то-ра по ор-там. При та-ком під-хо-де мн. по-ня-ку нор-ми-ро-ван-них О. с. ф. при-про-ре-та-ють на-гляд-ний гео-мет-річ. сенс. Напр. фор-му-ла $ (*) $ оз-на-ча-ет, що про-ек-ція століття-то-ра на орт рав-на ска-ляр-но-му про-з-ве-де-нию століття-то-ра і ор-ту; ус-ло-віє Ля-пу-но-ва - Стек-ло-ва мо-же бути ис-тол-ко-ва-но як тео-ре-ма Пі-фа-го-ра для біс-ко-неп -но-мер-но-го про-країн-ст-ва: квад-рат дли-ни століття-то-ра ра-вен сум-ме квад-ра-тов його про-ек-ций на осі ко-ор ди-нат; замк-ну тости О. с. ф. оз-на-ча-ет, що най-мен-шиї замк-ну-те під-про-країн-ст-во, з-дер-жа-ний все век-то-ри цієї сис-те-ми, сов -па-да-ет з усім про-країн-ст-вом і т. д.