Оператор Набла, virtual laboratory wiki, fandom powered by wikia
Оператор Набла (оператор Гамільтона) - векторний диференційний оператор. позначається символом (Набла) (в Юникоде U + 2207. # X2207;).
Під цим оператором мається на увазі вектор з компонентами в вимірному просторі.
Для тривимірного декартового простору оператор Набла визначається наступним чином:
Властивості оператора Набла Правити
Цей вектор набуває сенсу в поєднанні зі скалярною або векторної функцією, до якої він застосовується.
Якщо помножити вектор на скаляр, то вийде вектор
,
який представляє собою градієнт функції. Якщо вектор скалярно помножити на вектор, вийде скаляр
,
тобто дивергенція вектора. Якщо помножити на векторно. то вийде ротор вектора.
Відповідно, скалярний твір є скалярний оператор, званий оператором Лапласа. Останній позначається також. В декартових координатах оператор Лапласа визначається таким чином:
.
Оскільки оператор Набла є диференціальним оператором, то при перетворенні виразів необхідно враховувати як правила векторної алгебри, так і правила диференціювання. наприклад:
Неможливо розібрати вираз (Перетворення в PNG відбулося з помилкою - перевірте правильність установки latex і dvips (або dvips + gs + convert)): \ mathbf \ operatorname (\ phi \ psi) = \ mathbf \ nabla (\ phi \ psi) = \ psi \ mathbf \ nabla \ phi + \ phi \ mathbf \ nabla \ psi = \ psi \ \ mathbf \ operatorname \ phi + \ phi \ \ mathbf \ operatorname \ psiНевозможно розібрати вираз (Перетворення в PNG відбулося з помилкою - перевірте правильність установки latex і dvips (або dvips + gs + convert)): \ operatorname (\ mathbf \ operatorname \ phi) = \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ phi = \ nabla ^ 2 \ phi = \ Delta \ phi
Тобто похідна вираження, що залежить від двох полів, є сума виразів, в кожному з яких диференціювання піддається тільки одне поле.
Для зручності позначення того, на які поля діє Набла, прийнято вважати, що в творі полів і операторів кожен оператор діє на вираз, що стоїть праворуч від нього, і не діє на все, що стоїть ліворуч. Якщо потрібно, щоб оператор діяв на полі, стоїть ліворуч, це поле якимось чином відзначають, наприклад, ставлячи над буквою стрілочку:
Така форма запису зазвичай використовується в проміжних перетвореннях. Через її незручності в остаточній відповіді від стрілок намагаються позбутися.
Оператори другого порядку Правити
Так як існують різні способи множення векторів і скалярів, за допомогою оператора Набла можна записати різні види диференціювання. Комбінування скалярних і векторних творів дає 7 різних варіантів похідних другого порядку:
Для досить гладких полів (двічі безперервно диференційовних) ці оператори не незалежні. Два з них завжди дорівнюють нулю:
Два завжди збігаються:
Три залишилися пов'язані співвідношенням:
Ще одне може бути виражено через тензорний добуток векторів:
Відмінності Набла від вектора Правити
Хоча більшість властивостей оператора Набла слідують з алгебраїчних властивостей операторів і чисел і стають цілком очевидними, якщо розглядати його як вектор, потрібно дотримуватися обережності. Набла - це не вектор, а оператор. Він не належить тому векторному простору, на якому діє, і не має властивості векторів, наступними з їх геометричного сенсу. Зокрема, він не комутує з векторами:
Як відомо, являє собою нетривіальний оператор диференціювання у напрямку векторного поля. Якби Набла був вектором, то мішаний добуток було б завжди дорівнює нулю, однак нескладно переконатися, що це не так.
Крім того, необхідно пам'ятати, на які вектора і функції діє кожен оператор Набла в написаній формулі:
Зокрема, при множенні оператора Набла на складне вираз, зазвичай диференціюється поле позначають стрілочкою:
Якщо оператор не діє на деякий поле, то приватні похідні коммутируют у всіх виразах з компонентами цього поля, тому поле і оператор комутують (для векторного твори - антікоммутіруют) у всіх виразах і можна виробляти чисто алгебраїчні перетворення.