ОГЕ (ДПА) завдання 4 з математики
Розбір завдання №4 на тему: "Рішення рівнянь різного типу"
Завдання №4 вимагає вміння розв'язувати рівняння різного типу. Хлопці, ви повинні добре засвоїти методи правильного рішення квадратних рівнянь, дрібно-раціональних рівнянь, звичайних лінійних рівнянь. Також ви повинні добре вміти робити дії з многочленами: множення і ділення многочлена на многочлен. Вам знадобитися вміння вибирати коріння рівняння, які входять в область рішення і визначати, які коріння треба викинути і не враховувати?
Уроки які допоможуть вам при підготовці даного завдання:
Перейдемо до розбору прикладів рішення.
Приклад 1.
Знайдіть корені рівняння: $ 16x ^ 2-1 = 0 $.
Рішення.
Зауважимо, нам дано квадратне рівняння, але не повне. Коефіцієнт при х дорівнює нулю. Тоді будемо керуватися правилом: "ті вирази, в яких є х в квадраті, залишимо зліва, а всі числа перенесемо на право".
Перетворимо наше вираз: $ 16x ^ 2 = 1 $.
Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при х квадрат: $ x ^ 2 = \ frac $.
Для вирішення даного рівняння, нам знадобляться знання кореня квадратного. Винесемо корінь, не забуваючи про те, що негативне число ми повинні теж враховувати: $ x = ± \ sqrt> = ± \ frac = ± 0,25 $.
Відповідь: $ x = ± 0,25 $.
Приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $ x ^ 2 = 18-7x $.
Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину рівняння: $ x ^ 2 + 7x-18 = 0 $.
Звичайне квадратне рівняння ми можемо вирішити двома способами:
1. "в лоб", обчислюючи дискриминант;
2. за допомогою теорему Віетті.
1 спосіб.
Випишемо всі коефіцієнти при квадратному рівнянні: $ a = 1 $, $ b = 7 $, $ c = -18 $.
Знайдемо дискримінант: $ D = b ^ 2-4ac = (7) ^ 2-4 * 1 * (- 18) = 49 + 72 = 121 = (11) ^ 2> 0 $.
Отримали, що рівняння має 2 корені.
Нам залишилося знайти ці корені:
$ X_1 = \ frac> = \ frac = 2 $.
$ X_2 = \ frac> = \ frac = -9 $.
2 спосіб.
Скористаємося теоремою Віетті. Теорема Віетті часто спрощує рішення квадратних рівнянь у багато разів, особливо коли коефіцієнт $ а = 1 $. В цьому випадку твір коренів рівняння дорівнює коефіцієнту $ з $, і сума коренів рівняння дорівнює мінус коефіцієнту при $ b $:
$ X_1 + x_2 = - \ frac $.
$ X_1 * x_2 = \ frac $.
У нашому прикладі $ с = -18 $ і $ b = 7 $. Починаємо перебирати пари чисел, твір яких одно мінус вісімнадцять. Перші числа приходять на розум - дев'ятка і двійка. Провівши кілька простих перемноження і складань можна переконатися, що нам підходять коріння $ х = -9 $ і $ х = 2 $.
$ X_1 * x_2 = -9 * 2 = -18 = \ frac $.
x $ _1 + x_2 = -9 + 2 = -7 = - \ frac $.
Відповідь: $ x = -9 $, $ x = 2 $.
Приклад 3.
Вирішити рівняння: $ x- \ frac = \ frac $.
Рішення.
Нам дано звичайне лінійне рівняння з дробовими коефіцієнтами. Для вирішення цього рівняння потрібно правильно діяти зі звичайними дробами.
Першою дією перетворимо ліву частину рівняння, спростивши її: $ x- \ frac = \ frac- \ frac = \ frac $.
Отримали рівняння: $ \ frac = \ frac $.
Розділимо праву частину рівняння на коефіцієнт при х: $ x = \ frac >> $.
Отримали: $ x = 2,5 $.
Відповідь: $ x = 2,5 $.
Приклад 4.
Розв'яжіть рівняння: $ (x + 2) ^ 2 = (x-4) ^ 2 $.
Рішення.
Спосіб 1.
Скористаємося формулою квадрата суми: $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $.
$ (X-4) ^ 2 = x ^ 2-8x + 16 $.
Отримали: $ x ^ 2 + 4x + 4 = x ^ 2-8x + 16 $.
Спростимо наше рівняння:
$ X ^ 2 + 4x-x ^ 2 + 8x = 16-4 $.
$ 12x = 12 $.
$ X = 1 $.
Спосіб 2.
При вирішенні даного рівняння ми можемо скористатися формулою різниці квадратів. $ (X + 2) ^ 2 (x-4) ^ 2 = 0 $.
$ (X + 2 + x-4) (x + 2-x + 4) = 0 $.
$ (2x-2) * (6) = 0 $.
$ 2x-2 = 0 $.
$ 2x = 2 $.
$ X = 1 $.
Відповідь: $ x = 1 $.
Приклад 5.
Вирішити рівняння: $ \ frac = \ frac $.
Рішення.
Нам представлено дрібно-раціональне рівняння. При вирішенні даних рівнянь варто пам'ятати про те, що ділити на нуль не можна. Тому коріння рівняння варто перевіряти завжди, підстановкою їх в знаменник вихідного рівняння.
Скористаємося правилом множення хрест на хрест: $ 9 (x-9) = 14 (x-14) $.
Отримали лінійне рівняння:
$ 9x-81 = 14x-196 $.
$ 9x-14x = -196 + 81 $.
$ -5x = -115 $.
$ X = 23 $.
Перевіривши наше коріння, переконуємося, що знаменники дробів вихідного рівняння не звертаються в нуль.
Відповідь: $ x = 23 $.
Приклад 6.
Знайдіть рішення задовольняють системі: $ \ begin x ^ 2 + 9x-22 = 0, \\ x≤1 \ end $.
Рішення.
Спочатку вирішимо квадратне рівняння, скориставшись теоремою Віетті. Твір наших коренів дорівнює $ 22 $, а сума дорівнює $ -9 $.
Підберемо коріння:
$ -11 * 2 = -22 $.
$ -11 + 2 = -9 $.
Отримали два кореня: $ x_1 = -11 $ і $ x_2 = 2 $. З цих коренів нерівності $ x≤1 $ задовольняє перший корінь, він і буде відповіддю.
Відповідь: $ x = -11 $.
Приклад 7.
Розв'яжіть рівняння: $ 23x-60-x ^ 2 = 0 $.
У відповіді вкажіть модуль різниці коренів.
Рішення.
Помножимо вихідне рівняння на $ -1 $: $ x ^ 2-23x + 60 = 0 $.
У такій формі рівняння виглядає набагато звичніше.
Скористаємося теоремою Віетті і представимо наше рівняння, як твір двох членівМіжнародної:
$ (X-20) (x-3) = 0 $.
Отримали два кореня $ x_1 = 20 $ і $ x_2 = 3 $.
Знайдемо модуль різниці: $ | x_1-x_2 | = | 20-3 | = | 17 | = 17 $.
Відповідь: 17.
Приклад 8.
Скільки коренів має рівняння $ x ^ 6-x ^ 2 = 0? $
Рішення.
Винесемо за дужки найменший ступінь: $ x ^ 2 (x ^ 4-1) = 0 $.
Тепер скористаємося формулою різниці квадратів:
$ X ^ 2 (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) = 0 $.
І ще раз скористаємося тією ж формулою:
$ X ^ 2 (x-1) (x + 1) (x ^ 2 + 1) = 0 $.
Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь: Отримали, що у даного рівняння три кореня.
Відповідь: 3.
Приклад 9.
Розв'яжіть рівняння: $ \ frac = 0 $.
Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть більший з них.
Рішення.
Початкове рівняння рівносильне наступній сукупності: Вирішимо кожне рівняння: Так як знаменник дробу не може дорівнювати нулю, одне рішення у нас відпадає. Отримали один корінь рівняння $ х = -0,5 $.
Відповідь: -0,5.