Оцінки математичного очікування і дисперсії 1
Нехай закон розподілу випадкової величини X містить невідомий параметр. Потрібно на підставі досвідчених даних знайти підходящу оцінку для параметра. нехай
спостережувані значення випадкової величини X, одержувані в результаті n незалежних дослідів. Але, з іншого боку, результат можна представляти як набір n незалежних випадкових величин:
,
що представляють собою n незалежних копій випадкової величини X, саме - випадкова величина, що представляє собою результат i-го досвіду, але має той же закон розподілу, що досліджувана випадкова величина X.
,
побудована на основі статистичних даних називається оцінкою (точкової оцінкою) параметра. є випадковою величиною, закон розподілу якої залежить, по-перше, від закону розподілу випадкової величини X, по-друге, від числа дослідів n. Для того щоб оцінка мала практичну цінність, вона повинна мати наступні властивості:
1. Незміщеність. Оцінка називається несмещенной, якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру. тобто
.
В іншому випадку (якщо) оцінка називається зміщеною.
Природно в якості оцінки, тобто наближеного значення невідомого параметра, брати незсунені оцінки; в цьому випадку ми не робимо систематичної помилки в бік завищення або заниження.
2. Спроможність. Оцінка називається заможної. якщо вона сходиться по ймовірності до оцінюваного параметру a при необмеженому зростанні n:
Спроможність оцінки означає, що при досить великому числі дослідів n зі скільки завгодно великою вірогідністю відхилення оцінки від істинного значення параметра по модулю менше будь-якого заздалегідь обраного числа e> 0.
3.Еффектівность. Оцінки, що володіють властивістю незсуненості і спроможності, при обмеженій кількості дослідів можуть відрізнятися дисперсиями. Чим менше дисперсія оцінки, тим менше ймовірність грубої помилки при визначенні наближеного значення параметра. Тому необхідно, щоб дисперсія оцінки була мінімальною, тобто щоб виконувалася умова:
.
Оцінка, що володіє властивістю, називається ефективною. інакше, якщо при заданому обсязі вибірки має найменшу дисперсію.
Умови незсуненості, спроможності та ефективності є умовами доброякісності оцінки, що є необхідним при обробці статистичних даних.
Точкові оцінки математичного очікування
і дисперсії
Якщо розглядається випадкова величина. має математичне сподівання і дисперсію. то обидва ці параметра вважаються невідомими. Тому над випадковою величиною проводиться незалежних дослідів, які дають результати:. Необхідно знайти заможні і незсунені оцінки невідомих параметрів і.
Як оцінок і зазвичай вибираються відповідно статистичне (вибіркове) середнє значення і статистична (вибіркова) дисперсія:
Оцінка математичного очікування (8.11) є спроможною відповідно до закону великих чисел (теорема Чебишева):
.
Математичне сподівання випадкової величини
.
Отже, оцінка є несмещенной.
Дисперсія оцінки математичного очікування:
.
Якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то оцінка є також і ефективною.
Математичне сподівання оцінки дисперсії
.
.
Так як . а. то отримуємо
Таким чином, - зміщена оцінка, хоча є спроможною і ефективною.
З формули (8.13) випливає, що для отримання несмещенной оцінки слід видозмінити вибіркову дисперсію (8.12) наступним чином:
яка вважається "найкращою" в порівнянні з оцінкою (8.12), хоча при великих ці оцінки практично дорівнюють один одному.
Накопичувачі на дискетах. Флеш-накопичувачі та накопичувачі на електронних картах. Накопичувачі на оптичних дисках. Загальні принципи пристрою, запису і зберігання, технічні характеристики.
Центральна гранична теорема.
ЦЕНТРАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА