Нескінченно велика функція
тягнуть за собою відповідні нерівності
Якщо. то умова перекриває обидва умови (9) і (10) і, отже,
Слідство. Сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала.
Теорема про двох міліціонерів
Якщо функція y = f (x) така, що для всіх x в деякій околиці точки a. причому функції # 966; (x) і # 968; (x) мають однаковий межа при. то існує межа функції y = f (x) при. рівний цього ж значенням, тобто
32. Друга теорема Вейерштрасса
Безперервна на відрізку [a. b] функція обмежена і досягає на цьому відрізку своєї верхньої і своєю нижньою межею
Доведення. Нехай f (x) C [a. b] (функція належить класу безперервних функцій на відрізку [a. b]) і нехай.
Згідно з визначенням верхньої межі функції, для кожного n існує така точка хn [а. b], що
З послідовності xn [а. b] можна виділити сходящуюся до деякого значення х0 підпослідовність:
В силу безперервності функції маємо далі
І в межі f (x0) M. Але f (x0) не може бути більше верхньої межі М і, отже, f (x0) = М. Що і треба було довести
Властивості меж функції
1) Межа постійної величини
Межа постійної величини дорівнює самій постійної величини:
Межа суми двох функцій дорівнює сумі меж цих функцій:
Аналогічно межа різниці двох функцій дорівнює різниці меж цих функцій.
Розширене властивість межі суми:
Межа суми декількох функцій дорівнює сумі меж цих функцій:
Аналогічно межа різниці декількох функцій дорівнює різниці меж цих функцій.
3) Межа твори функції на постійну величину
Постійний коефіцієнти можна виносити за знак межі:
4) Межа твори
Межа твори двох функцій дорівнює добутку меж цих функцій: