На допомогу раздолбаю
Конечномерное простір - це векторний простір. в якому є кінцевий базис - породжує (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує кінцева лінійно незалежна система векторів, лінійної комбінацією яких можна уявити будь-який вектор даного простору.
Базис - це (одночасно) і мінімальна породжує (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Все базиси містять одне і те ж кількість елементів, яке називається розмірністю векторного простору.
Конечномерное простір, в якому введено скалярний твір його елементів називається евклідовим. Конечномерное простір, в якому введена норма його елементів називається конечномірні нормованим. Наявність скалярного твори або норми породжує в скінченномірному просторі метрику.
Властивості скінченновимірних просторів
Всякий елемент x конечномерного простору X представимо єдиним чином у вигляді
де - поле (часто або), над яким розглядається простір X. - елементи базису. Це випливає з визначення базису.
Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.
Все базиси конечномерного простору складаються з однакової кількості елементів. Це властивість дає коректність визначення розмірності простору.
Нехай X - конечномерное простір і
Все скінченномірні простору однакової розмірності ізоморфні один одному.
У скінченномірному евклідовому просторі E базис називається ортонормованим. якщо.
У всякому Евклідовому пространствеEсуществует ортонормованій базис.
1 # 61616 ;. Нехай в E дан деякий, взагалі кажучи, неортогональної базис. Побудуємо спочатку базис з попарно ортогональних елементів. Послідовне побудову цих елементів будемо називати процесом ортогоналізації базису.
Візьмемо. Елемент будемо шукати у вигляді, де - деяка константа. Підберемо так, щоб,
для цього достатньо, щоб
Зауважимо, що. Дійсно, з слід лінійна залежність і, що суперечить умові приналежності цих елементів базису (див. Лему 7.2.2.).
2 # 61616 ;. Припустимо тепер, що нам вдалося ортогоналізовать елемент, і приймемо в якості елемент. Вимагатимемо, щоб. Тоді, в силу припущення, що, маємо
Покажемо тепер, що в цьому випадку. Припустимо гидке:. Однак оскільки всі елементи з побудови є деякі лінійні комбінації елементів, ми приходимо до лінійної залежності, що суперечить умові теореми. Отже,.
3 # 61616 ;. Процес ортогоналізації триває до вичерпання безлічі елементів, після чого досить пронормувати отримані елементи, щоб отримати шуканий ортонормованій базис.
Процес ортогоналізації Грама-Шмідта може бути застосований до будь-якої, в тому числі і до лінійно залежною, системі елементів евклідового простору. Якщо ортогоналізуемая система лінійно залежна, то на певному етапі ми отримаємо нульовий елемент, після покидька якого можна продовжити процес ортогоналізації.
Перехід від одного ортонормированного базису до іншого.
Згідно з визначенням 5.1.4. матриця, яка задовольняє співвідношенню, називається ортогональною, причому для будь-якої ортогональної матриці справедливі рівності = || E || і. Крім того, в евклідовому просторі будуть справедливі такі теореми.
Ортогональні матриці (і тільки вони) в можуть служити матрицями переходу від одного ортонормированного базису до іншого.
Розглянемо два різних ортонормованих базису і в E з матрицею переходу від першого базису до другого. Оскільки в цих базисах матриця Грама одинична, то зі співвідношення слід рівність, або. Оскільки матриця переходу невироджених, то, звичайно, маємо.
У розгорнутій формі рівність набуває вигляду, яке для окремого випадку було отримано в §2.9.
Ортогональное доповнення підпростору.
Нехай в E задано деякий підпростір E1. Розглянемо безліч E2 # 61644; E елементів x. ортогональних всіх елементів з E1.
В евклідовому просторі E сукупність елементів таких, що для називається ортогональним доповненням множини E1.
Ортогональное доповнення мірного подпространстваявляется подпространством розмірності.
Нехай в E зі стандартним скалярним твором дан ортонормованій базис і нехай E2 ортогональное доповнення до E1. Виберемо деякий базис в E1. Тоді з умови ортогональності довільного елемента x # 61646; E2 кожному елементу E1 слід (див. Теорему 7.4.1.), Що або ж, в координатної формі,
Ця однорідна система лінійних рівнянь (невідомі в якій є компоненти елемента), яка визначає ортогональное доповнення E2. має ранг в силу лінійної незалежності елементів. Тоді, по теоремі 6.7.1. у неї є лінійно незалежних рішень, що утворюють базис підпростору E2.
Для кожного елемента x # 61646; E2 за умовою слідства має місце рівність. Але це означає, що для кожного y # 61646; E1 справедливо, тобто E1 є ортогональним доповненням до E2 в E.