Методи рішення алгебраїчних рівнянь вище другого ступеня
Математична освіта, що отримується в школі, є найважливішим компонентом загальної освіти і загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує людину так чи інакше пов'язане з математикою. У наші дні більше уваги стало приділятися прикладного характеру предмета. Рішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видів рівнянь, які необхідно вміти вирішувати. В роботі розглянуті приклади розв'язання рівнянь високих ступенів менш відомими способами. Робота буде корисна і цікава учням старших класів при підготовці до іспитів.
Для вирішення більшості рівнянь, пропонованих на іспитах, достатньо володіти основними методами їх вирішення. Однак, деякі рівняння можна вирішити різними способами, вибравши найбільш раціональний або більш «цікавий», продемонструвавши при цьому ерудицію і знання предмета.
Гіпотеза. Оволодіння різними, в тому числі і нестандартними, способами вирішення рівнянь вище другого ступеня дозволить учням старших класах найбільш якісно підготуватися до іспитів або просто розширити їх математичний кругозір.
Алгебраїчні рівняння вище другого ступеня
Методи рішення рівнянь
Показати на прикладах менш поширені способи вирішення рівнянь високих ступенів.
• Розглянути незвичайні способи вирішення рівнянь методом введення нової змінної: метод сімметрізаціі, метод введення двох змінних, метод введення параметра, метод коренів квадратного рівняння
• Розглянути в новій якості метод виділення повного квадрата
• Показати на прикладах застосування методу геометричної прогресії
• Пояснити на прикладі суть методу множення рівняння на функцію
• Показати приклад використання суперпозиції функції при вирішенні рівнянь
метод сімметрізаціі
Рівняння, значення яких мають центр симетрії.
Використовується підстановка. яка сімметрізует окремі пари доданків. В результаті такої підстановки виділяються складові, що відрізняються тільки знаком.
Рішення. Зауважимо, що нулі доданків: 0; -2; -4 і -6 симетричні щодо числа - 3. Нехай x = t-3. Тоді (t-3) (t-1) (t + 1) (t + 3) +16 = 0
(T²-9) (t²- 1) +16 = 0 t⁴- 10t² + 25 = 0 t₁ =, t₂ = - x₁ = -3, x₂ = -3
Рішення. Нехай x = t-1. тоді
Приклад 3. (x²-7) ⁴ + (x²-9) ⁴ = 16
Рішення. Тут зручніше зробити підстановку x² = t + 8.
Скориставшись формулою (a ± b) ⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴, отримаємо t⁴ + 6t²-7 = 0, t = ± 1.
Перейшовши до змінної х, отримаємо або. т. е. х = або х =.
Рішення. Введемо заміну. Нехай y = x + 4, тоді
Повернемося до заміни: x + 4 = 1 або x + 4 = -1
Метод введення двох змінних
Рівняння призводять до такого виду, що очевидно введення двох змінних. Після чого отримують однорідне рівняння або систему рівнянь. Приклад 1.
Рішення. Нехай p = (х²- х +1) ², q = x². Тоді p²- 10pq + 9q² = 0
Отримаємо однорідне рівняння другого порядку щодо p і q. Зауважимо, що q ≠ 0 (0 - не є коренем основного рівняння). Отже, можна поділити на q².
Введемо нову змінну. отримаємо квадратне рівняння щодо змінної t.
t²- 10t + 9 = 0, знаходимо t₁ = 1, t₂ = 9.
Тепер залишилося вирішити рівняння:
Метод введення параметра
Іноді при розкладанні многочлена на множники допомагає метод введення параметра.
Рішення. Розглянемо многочлен з параметром а. який при в многочлен, що стоїть в лівій частині заданого рівняння, т. е. рівняння набуде вигляду
Складемо квадратне рівняння щодо а:
Коріння якого - і.
Розкладемо ліву частину рівняння на множники
Метод коренів квадратного рівняння.
Вводиться нова змінна, рівняння стає квадратним щодо нової змінної.
Приклад 1. х⁴ + 3х² + 20х - 96 = 0
Рішення. Перетворимо це рівняння в квадратне відносно нової змінної t. Нехай t = 10. Тоді 20 = 10t. 96 = t² - 4 і дане рівняння ставати квадратним щодо t: t² - 2х t- (х⁴ + 3х² + 4) = 0
Знайдемо дискримінант цього рівняння:
D = (-2x) ² + 4 (x⁴ + 3x² + 4) = x⁴ + 16x² +16 = (2x² + 4) ²
Отже, корені рівняння:
t₁ = x² + x + 2, t₂ = -x ² + x -2
Залишилося вирішити два рівняння:
1) x² + x - 8 = 0; 2) x² - x + 11 = 0
Рішення. Нехай t =. Тоді 2 = t². Отже, дане рівняння можна представити в такий спосіб:
Перейдемо до змінної x »:
Замінимо коефіцієнт -7:
Розглянемо останнє рівняння як квадратне відносно. де
Метод геометричної прогресії
Якщо ліва частина рівняння P (x) = 0 є сумою перших членів геометричної прогресії, то її можна перетворити, скориставшись формулою:
Приклад 1. 8x³ + 4x² + 2x + 1 = 0
Рішення. Ліва частина даного рівняння - сума чотирьох перших членів геометричної прогресії, де. Отже, сума її членів дорівнює (зауважимо, що х = 0,5 не є коренем рівняння) і дане рівняння рівносильне
Рішення. - члени геометричної прогресії (). Сума п'яти перших її членів дорівнює. Таким чином, вихідне рівняння прийме вид
(X = 1, x = -1 - не є корінням рівняння).
Відповідь: коренів немає
Метод виділення повного квадрата
Виділити повні квадрати і, оцінивши, отримані вирази перейти до вирішення системи.
Приклад 1. x⁶ + x⁴-2x³-2x² + 2 = 0
Рішення. Виділимо повні квадрати:
Очевидно, що дане рівняння рівносильне системі:
Приклад 2. 4 (x²-x + 1) (x²-2x + 2) = 3
Рішення. Зауважимо, що:
Так як за умови, що f (x), g (x) c> 0 і a = bc виконується то вихідне рівняння рівносильне системі
Відповідь: система не має рішень.
Множення рівняння на функцію
Обидві частини алгебраїчного рівняння множаться на многочлен від невідомої. При цьому треба пам'ятати, що можлива поява зайвих коренів многочлена на який помножили рівняння. Тому треба або множити на багаточлен, що не має коренів і отримати рівносильне рівняння. або множити на багаточлен, що має коріння. Тоді кожен з таких коренів треба обов'язково підставити у вихідне рівняння і встановити, чи є це число його коренем.
Рішення: Помноживши обидві частини рівняння на багаточлен. не має коренів, отримаємо рівняння:
Останнє рівняння можна записати у вигляді:
Ясно. що це рівняння не має дійсних коренів, тому задане рівняння їх також не має.
Відповідь: немає рішень.
Рішення: Помноживши обидві частини рівняння на багаточлен, отримаємо рівняння:
Це рівняння є симетричне рівняння четвертого ступеня. Оскільки х = 0 не є його коренем рівняння то, розділивши обидві частини на і перегрупувавши його члени, одержимо рівносильне рівняння:
Позначивши. перепишемо рівняння у вигляді
Коріння. і. Тому останнє рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
Вирішивши кожне з цих рівнянь, знайдемо чотири корені рівняння, а тим самим і вихідного рівняння :.
Так як корінь є стороннім для заданого рівняння. то отримуємо відповідь
Використання суперпозиції функції
Іноді можна знайти корінь рівняння, якщо зауважити, що функція, яка перебуває в одній з частин рівняння, є суперпозицією деяких більш простих функцій.
Рішення. Позначимо. задане рівняння можна переписати у вигляді.
Тепер очевидно, що якщо - корінь рівняння. то і корінь рівняння.
Коріння рівняння є і
Звідси випливає, що рівняння вихідне має коріння. Переписавши його у вигляді і розділивши многочлен на многочлен. отримаємо:
Звідси випливає, що корінням заданого рівняння поряд з і. є також коріння рівняння. т. е. числа і
Математика, як і будь-яка інша наука не стоїть на місці. Разом з розвитком суспільства змінюються погляди і потреби людей, виникають нові думки та ідеї. Однак деякі речі залишаються незмінними: необхідність вміти складати і розв'язувати рівняння.
В ході роботи підтвердилася гіпотеза: оволодіння різними, в тому числі і нестандартними, способами вирішення рівнянь вище другого ступеня дозволить учням старших класах найбільш якісно підготуватися до іспитів або просто розширити їх математичний кругозір.