Методи оптимізації
Завдання пошуку безумовного екстремуму мають величезне значення в теорії оптимізації, тому що більшість завдань на умовний екстремум зводяться, шляхом заміни цільової функції, до завдань пошуку безумовного екстремуму.
Розглянемо спочатку випадок функції однієї змінної:.
Нехай для визначеності точка є точкою локального мінімуму функції. Розкладемо функцію в ряд Тейлора в околі точки:
Для того щоб точка була точкою локального мінімуму потрібно, щоб ліва частина виразу (2) була б неотрицательной для будь-кого. такого, що.
Розглянемо праву частину виразу (2). Так як розглядається досить мала -окрестность точки. найбільшим (по модулю) складовою в правій частині виразу (2) буде 1-е доданок, і саме воно визначатиме знак лівої частини виразу (2). Так як в 1-м слагаемом величина може бути будь-якого знака, то для того, щоб ліва частина виразу (2) була гарантована неотрицательной, необхідно вимагати, щоб. тим самим, виключивши 1-е доданок з правої частини виразу (2).
Якщо ця умова виконується, то наступним доданком, який впливає на знак лівої частини (2), виявляється 2-е доданок. Очевидно, що це доданок буде позитивним, якщо.
Аналогічно, для випадку функції багатьох змінних, якщо точка - точка локального мінімуму. має місце розкладання в ряд Тейлора:
Так само як і у випадку однієї змінної:
і, отже, для того щоб точка була точкою локального мінімуму. потрібно, щоб і.
Аналогічно, для того щоб точка була точкою локального максимуму. потрібно, щоб і.
Т.ч. можна сформулювати необхідні і достатні умови безумовного екстремуму.
Якщо точка є точкою безумовного локального екстремуму (мінімуму або максимуму). і функція неперервно диференційовна в ній, то.
Зауваження. Точки, в яких виконуються необхідні умови безумовного екстремуму функції. називаються стаціонарними точками функції, серед них можуть бути мінімуми, максимуми, а також інші точки, які не є екстремумами функції.
Якщо точка є точкою безумовного локального мінімуму (максимуму). і функція двічі неперервно диференційовна в ній, то ().
Якщо функція двічі неперервно диференційовна в. і. то - точка локального мінімуму функції. якщо ж при цьому. то - точка локального максимуму функції.
з використанням необхідних і достатніх умов