Лекція 6 основи рівноваги тіл
1. Що вивчають в статиці.
2. Рівновага тіл при відсутності обертання.
3. Рівновага тіл із закріпленою віссю обертання. Момент сили. Правило моментів. Правило важеля.
4. Види рівноваги тіл (стійкий і нестійкий). Центр ваги.
1. Ми вже знаємо, що закони Ньютона дозволяють дізнатися, які прискорення отримують тіла під дією прикладених до них сил. Але дуже часто буває важливо знати, за яких умов тіла, на які можуть діяти різні сили, не отримують прискорень. Про таких тілах кажуть, що вони знаходяться в стані рівноваги. У такому стані, зокрема, знаходяться покояться тіла. Знати умови, при яких тіла знаходяться в спокої, дуже важливо для практики, наприклад при будівництві будівель, мостів, всіляких опор, підвісів, при виготовленні машин, приладів і т.д. Для Вас це питання, також не менш важливий! Але основами рівноваги в спорті більш детально займається така наука, як біомеханіка, вивченням якої ви займетеся на третьому курсі.
А механіка займається більш загальними питаннями. Та частина механіки, в якій вивчається рівновага твердих тіл, називається статикою. Відомо, що будь-яке тіло може рухатися поступально і, крім того, обертатися або повертатися навколо якоїсь осі. Щоб тіло знаходилося в спокої, воно не повинно ні рухатися поступально, ні обертатися або повертатися навколо якоїсь осі. Розглянемо умови рівноваги тіл для цих двох видів можливого руху окремо. А з'ясувати, які саме умови забезпечують рівновагу тіл, допоможуть нам закони Ньютона.
2. Рівновага тіл при відсутності обертання. При поступальному русі тіла можна розглядати рух тільки однієї точки тіла -його центру мас. При цьому ми повинні вважати, що в центрі мас зосереджена вся маса тіла і до нього прикладена рівнодіюча всіх сил, що діють на тіло. (Сила, яка одна може повідомити тілу таке ж прискорення, як і всі одночасно діють на нього сили, разом узяті, називається рівнодіючої цих сил).
З другого закону Ньютона випливає, що прискорення цієї точки дорівнює нулю, якщо геометрична сума всіх доданих до неї сил -равнодействующая цих сил - дорівнює нулю. Це і є умова рівноваги тіла при відсутності його обертання.
Щоб тіло, яке може рухатися поступально (без обертання), знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб геометрична сума сил, прикладених до тіла, дорівнювала нулю. Але якщо геометрична сума сил дорівнює нулю, то і сума проекцій векторів цих сил на будь-яку вісь теж дорівнює нулю. Тому умова рівноваги тіла можна сформулювати і так: щоб невращающейся тіло знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб сума прикладених до тіла сил на будь-яку вісь дорівнювала нулю.
У рівновазі, наприклад, знаходиться тіло, до якого прикладено дві рівні сили, що діють уздовж однієї прямої, але спрямовані в протилежні сторони (рис.1).
Стан рівноваги - це не обов'язково стан спокою. З другого закону Ньютона випливає, що, коли рівнодіюча сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, тіло може рухатися прямолінійно і рівномірно. При такому русі тіло теж знаходиться в стані рівноваги.
Наприклад, парашутист, після того як він почав падати з постійною швидкістю, знаходиться в стані рівноваги. На малюнку 1 сили прикладені до тіла не в одній точці. Але важлива не точка прикладання сили, а пряма уздовж якої вона діє. Перенесення точки прикладання сили вздовж лінії її дії нічого не змінює ні в русі тіла, ні в стані рівноваги. Ясно, наприклад, що нічого не зміниться, якщо замість того щоб тягнути вагонетку, її стануть штовхати. Якщо рівнодіюча сил, прикладених до тіла, не дорівнює нулю, то, для того щоб тіло знаходилося в стані рівноваги, до нього має бути додана додаткова сила, рівна по модулю рівнодіюча, але протилежна їй за напрямком.
Ця сила називається врівноважує.
3. Рівновага тіл із закріпленою віссю обертання. Момент сіли.Правіло моментів. Правило важеля. Пара сил.
Отже, умови рівноваги тіла при відсутності обертання з'ясовані. Але як забезпечується відсутність обертання тіла. Щоб відповісти на це питання, розглянемо тіло, яке не може здійснювати поступального руху, але може повертатися або обертатися. Щоб унеможливити поступальний рух тіла, його досить закріпити в одній точці так, як можна, наприклад, закріпити дошку на стіні, прибивши її одним цвяхом; поступальний рух такої дошки стає неможливим, але дошка може повертатися навколо цвяха, який служить їй віссю обертання.
Тепер з'ясуємо, які сили не можуть і які можуть викликати поворот (обертання) тіла із закріпленою віссю обертання. Розглянемо, деякий тіло (см.ріс.2), яке може повертатися, навколо осі, перпендикулярної площині креслення. З цього малюнка видно, що сілиF1, F2 іF3 не викличуть повороту тіла. лінії їх
дії проходять через вісь обертання. Будь-яка така сила буде врівноважена силою реакції закріпленої осі. Поворот (або обертання) можуть викликати лише такі сили, лінії, дії яких не проходять через вісь обертання. Сила F1, наприклад, прикладена до тіла так, як показано на малюнку 3, змусить тіло повернутися за годинниковою стрілкою, сілаF2 викличе поворот тіла проти годинникової стрілки.
Щоб зробити поворот йди обертання неможливим, потрібно, очевидно, прикласти до тіла принаймні дві сили: одну, що викликає поворот за годинниковою стрілкою, іншу - проти годинникової стрілки. Але ці дві сили можуть бути і нерівні одна одній (по модулю). Наприклад, сила F2 (див. Рис.4) викликає поворот тіла проти годинникової стрілки.
Як показує досвід, її можна врівноважити силою F1, що викликає поворот тіла за годинниковою стрілкою, але по модулю меншою ніж сілаF2. Значить, у цих двох неоднакових по модулю сил однакове, так би мовити "вращающее дію". Що ж у них спільного, що для них однаково? Досвід показує,
що в цьому випадку однаково твір модуля сили на відстань від осі обертання до лінії дії сили (слово "відстань" тут означає довжину перпендикуляра, опущеного з центра обертання на напрям дії сили). Це відстань називаетсяплечом сіли.Плечо сили F1- це d1, плече сілиf2- це d2.F1 d1 = F2 d2;
M = | f | d Отже, "вращающее дію" сили характеризується твором модуля сили на її плече. Величина, що дорівнює добутку модуля сілиF на її плече d, називаетсямоментом сили щодо осі обертання. Слова "щодо осі" у визначенні моменту необхідні бо, якщо, не змінюючи ні модуля сили, ні її напрямки, перенести вісь обертання, з точки О в іншу точку, то зміниться плече сили, а значить і момент сили. Момент сили характеризує обертальний дію цієї сили і в обертальному русі відіграє ту ж роль, що і сила в поступальному русі.
Момент сили залежить від двох величин: від модуля самої сили і від її плеча. Один і той же момент сили може бути створений малою силою, плече якої велике, і великою силою з малим плечем. Якщо, наприклад, намагатися закрити двері, штовхаючи її поблизу від петель, то цього з успіхом зможе протидіяти дитина, який здогадається штовхати її в іншу сторону, приклавши силу ближче до краю, і двері залишиться в спокої. Для нової величини - моменту сили - потрібно знайти одиницю. За одиницю моменту сили в СІ прийнятий момент сили в 1Н, лінія дії якої відстоїть від осі обертання на 1м. Цю одиницю називають ньютон-метром (Н м).
Моментів сил, що обертають тіло за годинниковою стрілкою, прийнято приписувати позитивний знак, а проти годинникової стрілки-негативних.
Тоді моменти сил F1 іF2 щодо осі Про мають протилежні знаки і їх алгебраїчна сума дорівнює нулю. Таким чином, ми можемо написати умова рівноваги тіла із закріпленою віссю: F1 d1 = F2 d2 або - F1 d1 + F2 d2 = 0, М1 + М2 = 0.
Отже, тіло має нерухому вісь обертання, перебуває в рівновазі, якщо алгебраїчна сума моментів всіх діючих на тіло сил щодо даної осі дорівнює нулю, тобто якщо сума моментів сил, що діють на тіло за годинниковою стрілкою, дорівнює сумі моментів сил діючих на тіло проти годинникової стрілки.
Ця умова рівноваги тіл з нерухомою віссю обертання називають правилом моментів.
Важелі. правило важеля
Неважко зрозуміти, що з правила моментів слід знамените правило важеля.
Важелем називають має нерухому вісь обертання тверде тіло, на яке діють сили, які прагнуть повернути його навколо цієї осі. Розрізняють важелі першого і другого року. Важелем першого роду називають такий важіль, вісь обертання якого розташована між точками докладання зусиль, а самі сили спрямовані в одну і ту ж сторону (див.рис. 5). Прикладами важелів першого роду можуть служити коромисло рівноплечого ваг, залізничний шлагбаум, колодязний журавель, ножиці і т.д.
Важелем другого роду називають такий важіль, вісь обертання якого розташована по одну сторону від точок прикладання сил, а самі сили спрямовані протилежно один одному (див. Рис. 6) Прикладами важелів другого роду є гайкові ключі, різні педалі, щипці для розколювання горіхів, двері і т.д. Згідно з правилом моментів, важіль (будь-якого роду), урав-новешен тільки тоді, коли М1 = М2. Оскільки М1 = F1 d1 і М2 = F2 d2. отримуємо F1 d1 = F2 d2. з останньої
формули слід, що F1 / F2 = d1 / d2. Важіль знаходиться в рівновазі, коли діючі на нього сили обернено пропорційні їх плечах. Але це не що інше, як інший вираз правила моментів: F1 / F2 = d1 / d2. З останньої формули видно, чтоcпомощью важеля можна отримати виграш силі тим більший, чим більше співвідношення плечей. Це широко використовують на практиці.
Пара сил. Дві рівні за модулем антипаралельні сили, прикладені до тіла в різних точках, називають парою сил. Прикладами пари сил можуть служити сили, які прикладені до керма автомобіля, електричні сили, що діють на диполь магнітні сили, що діють на магнітну стрілку і т.д. (Див.рис 7).
Пара сил не має рівнодійної, тобто спільна дія цих сил можна замінити дією однієї сили. Тому пара сил не може викликати поступальний рух тіла, а викликає лише його обертання. Якщо при повороті тіла під дією пари сил спрямування цих сил не змінюються, то поворот тіла відбувається до тих пір, поки обидві сили не виявляться діючими протилежно один одному уздовж прямої, що проходить через вісь обертання тіла.
Нехай на тіло, що має закріплену вісь обертання О, діє пара сил f іf (див. Мал.8). Моменти цих сил M1 = | f | d1 <0 и M2 =|f | d2 <0. Сумма моментов M1 +M2 =|f|(d1 +d2 )= =|f|d0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние d=d1 +d2 между параллельными прямыми,
уздовж яких діють сили, що утворюють пару сил, називають пле-чом пари сил; M = | f | d- це момент пари сил. Отже, момент пари сил дорівнює добутку мо-дуля однієї з сил цієї пари на плече пари незалежно від положення осі обертання тіла за умови, що ця вісь перпендикулярна площині, в якій знаходиться пара сил.
Якщо пара сил діє на тіло, яке не має закріплену вісь обертання, вона викликає обертання цього тіла навколо осі, що відходить через центр мас даного тіла.
4. Види рівноваги тел.
Якщо тіло знаходиться в рівновазі, то це означає, що сума доданих до неї сил дорівнює нулю і сума моментів цих сил щодо осі обертання також дорівнює нулю. Але виникає питання: а стійко чи рівновагу? (F = 0, M = 0).
З першого погляду видно, наприклад, що положення рівноваги кульки на вершині опуклою підставки нестійкий: найменше відхилення кульки від його рівноважного положення призведе до того, що він скотиться вниз. Помістимо той же кулька на увігнутій підставці. Його не так-то просто змусити покинути своє місце. Рівновага кульки можна вважати стійким.
У чому ж секрет стійкості? У розглянутих нами випадках кулька знаходиться в рівновазі: сила тяжестіfт. дорівнює по модулю протилежноспрямованої силі пружності (силі реакції) N з боку опори. Вся справа, виявляється, саме в тому найменшому відхиленні, про який ми згадували. На малюнку 9 видно, що як тільки кулька на опуклою підставці покинув своє місце, сила тяжіння fт перестає врівноважуватися сілойN з боку опори (сілаN завжди спрямована
перпендикулярно поверхні зіткнення кульки і підставки). Рівнодіюча сили тяжіння fт і сили реакції опориN. тобто сила F, спрямована так, що кулька ще більше віддалиться від положення рівноваги. Інша річ на увігнутій підставці (рис.10). При малому відхиленні від початкового положення тут теж порушується рівновага. Сила пружності з боку опори і тут вже не буде врівноважувати силу тяжіння. Але тепер рівнодіюча цих сілFT спрямована так, що тіло повернеться в попереднє положення. В цьому і полягає умова стійкості рівноваги.
Рівновага тіла стійко, якщо при малому відхиленні рівноважного положення рівнодіюча сил, прикладених до тіла, повертає його до стану рівноваги.
Рівновага нестійка, якщо при малому відхиленні тіла від положення рівноваги рівнодійна сил, прикладених до тіла, видаляє його від цього положення.
Це справедливо і для тіла, що має вісь обертання. Як приклад такого тіла розглянемо звичайну лінійку, укріплену на стрижні, що проходить через отвір поблизу її кінця. З малюнка 11а видно, що положення лінійки стійко. Якщо ж підвісити ту ж лінійку так, як показано на іншому малюнку 11б, то рівновага лінійки буде нестійким.
Стійкий і нестійкий положення рівноваги один від одного ще й положенням центра ваги тіла.
Центром тяжіння твердого тіла, називають точку прикладання рівнодіючої всіх сил ваги, що діють на кожну частку цього тіла. Центр тяжкості твердого тіла збігається з його центром мас. Тому центр мас часто називають центром тяжіння. Однак між цими поняттями є відмінність. Поняття центру тяжіння справедливо тільки для твердого тіла, що знаходиться в однорідному полі сил тяжіння, а поняття центру мас не пов'язане ні cкакім силовим полем і справедливо для будь-якого тіла (механічної системи).
Отже, для стійкої рівноваги центр ваги тіла повинен перебувати в найнижчому з можливих для нього положень.
Рівновага ж тіла, що має вісь обертання, стійко за умови, що його центр ваги розташований нижче осі обертання.
Можливо і таке становище рівноваги, коли відхилення від нього не призводить до будь-яких змін в стані тіла. Таке, наприклад, положення кульки на плоскій опорі або лінійки, підвішеною на стрижні, що проходить через її центр ваги. Така рівновага називається байдужим.
Ми розглянули умова рівноваги тіл, що мають точку опори або вісь опори. Не менш важливим є випадок, коли опора доводиться не на точку (вісь), а на деяку поверхню.
Тіло, що має площу опори, знаходиться в рівновазі; коли вертикальна пряма, що проходить через центр ваги тіла, не виходить за межі площі опори цього тіла. Розрізняють ті ж випадки рівноваги тіла, що згадувалися вище. Однак рівновага тіла, що має площу опори, залежить не тільки від відстані її центра ваги від Землі, але і від розташування і розмірів площі опори цього тіла. Для того, щоб можна було одночасно враховувати і висоту центру ваги тіла над Землею, і значення його площі опори, було введено поняття кут стійкості тіла.
Кутом стійкості називають кут, утворений горизонтальною площиною і прямою, що з'єднує центр ваги тіла з краєм площі опори. Як видно з малюнка 12, кут стійкості зменшується, якщо будь-яким способом центр ваги тіла знижують (наприклад, роблять нижню частину тіла більш масивною або частина тіла заривають у землю, тобто створюють фундамент, а також збільшують площу опори тіла). Чим менше кут стійкості, тим стійкіше рівновагу тіла.