квадратичні форми
Рейтинг: 5/5
Література: Збірник завдань з математики. Частина 1. Під ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.
Якщо в дійсному лінійному просторі $ L_n $ фіксований деякий базис $ B = (e_1. E_n), $ то квадратична форма $ A (x, x) $ в цьому базисі має вигляд $$ A (x, x) = \ sum \ limits_ ^ n a_x_ix_j, $$ де $$ A = (a _) = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ end $$ - матриця квадратичної форми і $ x = x_1e_1 +. + X_ne_n. $Квадратична форма $ A (x, x), $ певна в дійсному лінійному просторі $ L_n, $ називається позитивно (негативно) певною, якщо для будь-якого $ x \ in L_n \, \, \, (x \ neq 0) $ $$ A (x, x)> 0 \ qquad (<0).$$
Нехай $ A = (a_) - $ матриця квадратичної форми $ A (x, x) $ і $$ D_1 = a_, \ quad D_2 = \ begina_a _ \\ a_a_ \ end, \, \, \ cdots, \, \, D_n = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ end - $$ послідовність головного мінору матриці $ A. $
Критерієм позитивної визначеності квадратичної форми є следуещее твердження (критерій Сильвестра): для того, щоб квадратична форма $ A (x, x) $ була позитивно певної необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори її матриці $ A $ були позитивні, тобто $ D_k > 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n. $
Можна довести, що для того, щоб квадратична форма $ A (x, x) $ була негативно определнной, необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n. $
У таких завданнях визначити, які квадратичні форми є позитивно чи негативно певними, а які - ні.
Матриця квадратичної форми має вигляд $$ A = \ begin15 \\ 526 \ end. $$Обчислимо головні мінори матриці $ A: $
$$ D_2 = \ begin15 \\ 526 \ end = 1 \ cdot 26-5 \ cdot 5 = 1> 0. $$
Таким чином, всі головні мінори її матриці $ A $ були позитивні, а це значить, що задана квадратична форма позитивно певна.
Відповідь: позитивно певна.
Матриця квадратичної форми має вигляд $$ A = \ begin-11 \\ 1-4 \ end. $$Обчислимо головні мінори матриці $ A: $
Таким чином, виконуються неравенсва $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, k = 1, 2, \ cdots, n, $ тобто задана квадратична форма негативно певна.
Відповідь: негативно певна.
Матриця квадратичної форми має вигляд $$ A = \ begin00,50,50 \\ 0,50-11 \\ 0,5-100 \\ 0002 \ end. $$Обчислимо головні мінори матриці $ A: $
Отже, квадратична форма не є ні позитивно, ні негативно визначеною.
У таких завданнях визначити, які квадратичні форми є полопжітельно або негативно певними, а які - ні.
Відповідь: негативно певна.