Кардинальність - це
Два безлічі називаються рівнопотужними. якщо між ними існує біекція. Існування Бієкція між множинами є відношення еквівалентності. а потужність безлічі - це відповідний йому клас еквівалентності.
Безліч парних цілих чисел має таку ж потужність, що і безліч цілих чисел. Визначимо так:. f - біекція, тому
- Два кінцевих безлічі рівнопотужні тоді і тільки тоді, коли вони складаються з однакового числа елементів. Тобто для кінцевого безлічі поняття потужності збігається зі звичним поняттям кількості.
- Для нескінченних множин потужність безлічі може збігатися з потужністю його власного підмножини, наприклад.
- Теорема Кантора гарантує існування більш потужного безлічі для будь-якого даного: Безліч всіх підмножин множини A могутніше A, або | 2 A |> | A | .
- За допомогою Канторова квадрата можна також довести наступне корисне твердження: Декартово твір нескінченної кількості A з самим собою рівнопотужності A.
- Потужність декартова твори:
- Формула Грассмана:
пов'язані визначення
Дотримуючись Кантору. потужність безлічі називається кардинальним числом. і позначається потужність такого безлічі A через | A | (Сам Кантор використовував позначення). Іноді зустрічається позначення.
Потужність безлічі натуральних чисел позначається символом ( «Алеф -нуль»). Безліч називається нескінченним. якщо його потужність, таким чином, рахункові безлічі - це «найменші» з нескінченних множин. Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначаються.
Про безлічі, рівнопотужності безлічі всіх дійсних чисел. кажуть, що вони мають потужність континууму. і потужність таких множин позначається символом c. Континуум-гіпотеза стверджує, що.
Для потужностей, як і в разі кінцевих множин, є поняття: рівність, більше, менше. Тобто для будь-яких множин A і B можливо тільки одне з трьох:
- | A | = | B | або A і B рівнопотужні;
- | A |> | B | або AмощнееB. т. е. A містить підмножина, рівносильне B. але A і B НЕ рівнопотужні;
- | A | <| B | или B мощнее A. в этом случае B содержит подмножество, равномощное A. но A и B не равномощны.
Ситуація, в якій A і B НЕ рівнопотужні і ні в одному з них немає частини, рівнопотужності іншому, неможлива. Це випливає з теореми Цермело. Інакше це означало б існування непорівнянних між собою потужностей (що в принципі можливо, якщо не брати аксіому вибору).